Kuglens ligning 🎯

I 2D arbejdede du med cirklens ligning — nu tager vi springet til 3D! En kugleEn kugle er mængden af alle punkter i rummet, der har samme afstand (radius) til et fast punkt (centrum). er den naturlige udvidelse af en cirkel: alle punkter i rummet med samme afstand til et centrum.

At forstå kuglens ligning er som at mestre en boss i geometri — det åbner op for skæringer med planer, linjer og andre flader. Lad os erobre den! 🏆

Teori: Kuglens ligning

En kugle med centrum $C(a, b, c)$ og radius $r$ er mængden af alle punkter $P(x, y, z)$ med afstanden $r$ til $C$ :

d(P, C) = r

Vi bruger afstandsformlen i 3D:

\sqrt{(x - a)^2 + (y - b)^2 + (z - c)^2} = r

Kvadrerer vi begge sider, får vi kuglens ligning på standardformKuglens ligning på standardform viser centrum og radius direkte. Formen er (x - a)² + (y - b)² + (z - c)² = r².:

(x - a)^2 + (y - b)^2 + (z - c)^2 = r^2

Specialtilfælde: Hvis centrum er i origo $(0, 0, 0)$ :

x^2 + y^2 + z^2 = r^2

Aflæsning: Af standardformen kan vi direkte aflæse:

Centrum: $(a, b, c)$ — læg mærke til fortegnene! Hvis der står $(x + 3)^2$ , er $a = -3$
Radius: $r = \sqrt{r^2}$ — tallet på højresiden er $r^2$ , ikke $r$ direkte

Vis Eksempel: Aflæs centrum og radius ⚡

Opgave: Aflæs centrum og radius for kuglen:

(x - 2)^2 + (y + 3)^2 + (z - 1)^2 = 25

Løsning:

Vi sammenligner med standardformen $(x - a)^2 + (y - b)^2 + (z - c)^2 = r^2$ :

$(x - 2)^2 \implies a = 2$
$(y + 3)^2 = (y - (-3))^2 \implies b = -3$
$(z - 1)^2 \implies c = 1$
$r^2 = 25 \implies r = 5$

Centrum: $C(2, -3, 1)$ og radius: $r = 5$ .

Teori: Kuglens ligning på udvidet form

Multiplicerer vi standardformen ud, kan vi skrive kuglens ligning på udvidet formDen udvidede form af kuglens ligning, hvor parenteserne er ganget ud. Man bruger kvadratkomplettering til at bringe den tilbage til standardform.:

x^2 + y^2 + z^2 + Dx + Ey + Fz + G = 0

For at gå fra udvidet form til standardform bruger vi kvadratkomplettering på hver variabel:

x^2 + Dx = \left(x + \frac{D}{2}\right)^2 - \left(\frac{D}{2}\right)^2

Dermed:

Centrum: $\left(-\frac{D}{2},\, -\frac{E}{2},\, -\frac{F}{2}\right)$
Radius: $r = \sqrt{\left(\frac{D}{2}\right)^2 + \left(\frac{E}{2}\right)^2 + \left(\frac{F}{2}\right)^2 - G}$

Bemærk: For at ligningen beskriver en reel kugle, skal udtrykket under kvadratroden være positivt.

Vis Eksempel: Kvadratkomplettering ⚡

Opgave: Bestem centrum og radius for kuglen med ligningen:

x^2 + y^2 + z^2 - 4x + 6y - 2z - 11 = 0

Løsning:

Trin 1: Gruppér og kvadratkompleter for $x$ :

x^2 - 4x = (x - 2)^2 - 4

Trin 2: Kvadratkompleter for $y$ :

y^2 + 6y = (y + 3)^2 - 9

Trin 3: Kvadratkompleter for $z$ :

z^2 - 2z = (z - 1)^2 - 1

Trin 4: Indsæt i ligningen:

\begin{aligned} (x - 2)^2 - 4 + (y + 3)^2 - 9 + (z - 1)^2 - 1 - 11 &= 0 \\ (x - 2)^2 + (y + 3)^2 + (z - 1)^2 &= 4 + 9 + 1 + 11 \\ (x - 2)^2 + (y + 3)^2 + (z - 1)^2 &= 25 \end{aligned}

Resultat: Centrum $C(2, -3, 1)$ og radius $r = \sqrt{25} = 5$ .

Vis Eksempel: Opstil kuglens ligning ⚡

Opgave: Find ligningen for kuglen med centrum $C(1, -2, 4)$ og radius $r = 3$ .

Løsning:

Vi indsætter direkte i standardformen:

(x - 1)^2 + (y - (-2))^2 + (z - 4)^2 = 3^2

(x - 1)^2 + (y + 2)^2 + (z - 4)^2 = 9

Vil vi have den udvidede form, ganger vi ud:

\begin{aligned} &(x^2 - 2x + 1) + (y^2 + 4y + 4) + (z^2 - 8z + 16) = 9 \\ &x^2 + y^2 + z^2 - 2x + 4y - 8z + 21 = 9 \\ &x^2 + y^2 + z^2 - 2x + 4y - 8z + 12 = 0 \end{aligned}

Teori: Skæring mellem kugle og plan

Når et plan skærer en kugle, kan der ske tre ting:

Planet skærer kuglen i en cirkel — når afstanden fra centrum til planet er mindre end radius
Planet tangerer kuglen — når afstanden fra centrum til planet er lig med radius (skæringscirklen reduceres til ét punkt)
Planet skærer ikke kuglen — når afstanden fra centrum til planet er større end radius

Lad $d$ være afstanden fra kuglens centrum til planet. Da gælder:

$d < r$ : Skæringscirklen har radius $r_s = \sqrt{r^2 - d^2}$
$d = r$ : Tangentpunkt (skæringscirkel med radius 0)
$d > r$ : Ingen skæring

Skæringscirklens centrum er fodpunktet for normalen fra kuglens centrum ned på planet.

Vis Bevis: Skæringscirklens radius ⚡

Påstand: Når et plan skærer en kugle med centrum $C$ og radius $r$ i afstanden $d$ fra centrum, har skæringscirklen radius $r_s = \sqrt{r^2 - d^2}$ .

Bevis:

Lad $M$ være skæringscirklens centrum (fodpunktet for normalen fra $C$ til planet), og lad $P$ være et vilkårligt punkt på skæringscirklen.

Da $P$ ligger på kuglen: $|CP| = r$ .

Da $M$ er fodpunktet: $|CM| = d$ og $CM \perp MP$ .

Trekanten $CMP$ er retvinklet med hypotenuse $CP = r$ . Pythagoras giver:

|CP|^2 = |CM|^2 + |MP|^2

r^2 = d^2 + r_s^2

r_s = \sqrt{r^2 - d^2} \quad \square

Vis Eksempel: Skæring mellem kugle og plan ⚡

Opgave: Find skæringscirklens centrum og radius, når kuglen $(x - 1)^2 + (y - 2)^2 + (z - 3)^2 = 25$ skæres af planet $z = 0$ ( $xy$ -planen).

Løsning:

Trin 1: Aflæs kuglens data: Centrum $C(1, 2, 3)$ og radius $r = 5$ .

Trin 2: Planligningen $z = 0$ skrives som $0x + 0y + 1z + 0 = 0$ , dvs. $z = 0$ .

Trin 3: Find afstanden fra $C$ til planet:

d = \frac{|0 \cdot 1 + 0 \cdot 2 + 1 \cdot 3 + 0|}{\sqrt{0^2 + 0^2 + 1^2}} = \frac{3}{1} = 3

Trin 4: Da $d = 3 < r = 5$ , skærer planet kuglen. Skæringscirklens radius er:

r_s = \sqrt{r^2 - d^2} = \sqrt{25 - 9} = \sqrt{16} = 4

Trin 5: Skæringscirklens centrum er fodpunktet for normalen fra $C(1, 2, 3)$ til planet $z = 0$ :

M = (1, 2, 0)

Resultat: Skæringscirklen har centrum $M(1, 2, 0)$ og radius $r_s = 4$ .

Vis Eksempel: Tangentplan ⚡

Opgave: Afgør om planet $2x - y + 2z = 15$ tangerer kuglen $x^2 + y^2 + z^2 = 25$ .

Løsning:

Trin 1: Kuglens data: Centrum $C(0, 0, 0)$ og radius $r = 5$ .

Trin 2: Planligningen: $2x - y + 2z - 15 = 0$ , dvs. $a = 2$ , $b = -1$ , $c = 2$ , $d = -15$ .

Trin 3: Afstand fra $C$ til planet:

d = \frac{|2 \cdot 0 + (-1) \cdot 0 + 2 \cdot 0 - 15|}{\sqrt{4 + 1 + 4}} = \frac{|-15|}{\sqrt{9}} = \frac{15}{3} = 5

Trin 4: Da $d = 5 = r$ , tangerer planet kuglen.

Tangentpunktet: Centrum projiceret på planet langs normalen:

T = C + \frac{d}{|\vec{n}|} \cdot \frac{\vec{n}}{|\vec{n}|} \cdot \text{fortegn}

Normalvektoren peger i retning $\vec{n} = \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix}$ , og enhedsvektoren er $\hat{n} = \frac{1}{3}\begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix}$ .

Da $2 \cdot 0 - 0 + 2 \cdot 0 - 15 < 0$ , peger vi mod planet:

T = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + 5 \cdot \frac{1}{3}\begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 10/3 \\ -5/3 \\ 10/3 \end{pmatrix}

Teori: Kugle bestemt af fire punkter

En kugle i rummet er entydigt bestemt af fire punkter, der ikke alle ligger i samme plan. Vi finder kuglens ligning ved at indsætte hvert punkt i den udvidede form:

x^2 + y^2 + z^2 + Dx + Ey + Fz + G = 0

Med fire punkter får vi fire ligninger med fire ubekendte ( $D$ , $E$ , $F$ , $G$ ), som kan løses.

Vis Eksempel: Kugle gennem fire punkter ⚡

Opgave: Find ligningen for kuglen gennem $P_1(1, 0, 0)$ , $P_2(0, 1, 0)$ , $P_3(0, 0, 1)$ og $P_4(0, 0, 0)$ .

Løsning:

Vi bruger formen $x^2 + y^2 + z^2 + Dx + Ey + Fz + G = 0$ .

Punkt $P_4(0,0,0)$ :

0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + G = 0 \implies G = 0

Punkt $P_1(1,0,0)$ :

1 + 0 + 0 + D + 0 + 0 + 0 = 0 \implies D = -1

Punkt $P_2(0,1,0)$ :

0 + 1 + 0 + 0 + E + 0 + 0 = 0 \implies E = -1

Punkt $P_3(0,0,1)$ :

0 + 0 + 1 + 0 + 0 + F + 0 = 0 \implies F = -1

Kuglens ligning (udvidet):

x^2 + y^2 + z^2 - x - y - z = 0

Standardform: Kvadratkomplettering:

\left(x - \frac{1}{2}\right)^2 + \left(y - \frac{1}{2}\right)^2 + \left(z - \frac{1}{2}\right)^2 = \frac{3}{4}

Centrum $C\!\left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right)$ og radius $r = \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

🏋️ Træningsopgaver

Opgave 1: Aflæs centrum og radius for kuglen $(x + 1)^2 + (y - 4)^2 + (z + 2)^2 = 49$ .

Opgave 2: Bring ligningen $x^2 + y^2 + z^2 + 2x - 8y + 4z + 5 = 0$ på standardform, og aflæs centrum og radius.

Opgave 3: Opstil ligningen for kuglen med centrum $C(3, 0, -2)$ og radius $r = 6$ .

Opgave 4: En kugle har centrum $C(2, 1, 3)$ og radius $r = 4$ . Planet har ligningen $x + 2y - 2z + 1 = 0$ . Bestem om planet skærer, tangerer eller ikke rammer kuglen.

Opgave 5: Kuglen $(x - 3)^2 + (y + 1)^2 + (z - 2)^2 = 36$ skæres af planet $y = -1$ . Find skæringscirklens radius.

Opgave 6: Find ligningen for kuglen, der har diameteren $AB$ , hvor $A(2, 4, 6)$ og $B(4, 2, 0)$ .

Quiz – Test din forståelse

Matematik Boss-Kamp ⚔️

Løs opgavesættet

Op til +50 XP

Hvad er centrum og radius for kuglen (x - 3)² + (y + 1)² + z² = 16?