Mundtlige Eksamensbeviser – Matematik A

Eksamensbeviserne på Matematik A trækker på din samlede viden om differentialregning og integralregning. Herunder finder du de formelle beviser præsenteret som i en universitetsbog.

Bevis 1: Integration ved substitution

Integration ved substitution svarer til at anvende kædereglen baglæns.

Tilknyttet emne i pensum: Substitution

Sætning (Ubestemt integral ved substitution)

Lad $g(x)$ være en differentiabel funktion med kontinuert afledt $g'(x)$ , og lad $f(t)$ være en kontinuert funktion med en stamfunktion $F(t)$ (således at $F'(t) = f(t)$ ). Da gælder for det ubestemte integral: $\int f(g(x)) \cdot g'(x) \, dx = F(g(x)) + C$

Bevismetode: Direkte bevis vha. kædereglen

Lad os betragte den sammensatte funktion $H(x) = F(g(x))$ . Vi differentierer $H(x)$ med hensyn til $x$ ved at anvende kædereglen for differentiation:

\begin{aligned} H'(x) &= \frac{d}{dx} \bigl[ F(g(x)) \bigr] \\ &= F'(g(x)) \cdot g'(x) \quad &&\text{[Kædereglen for differentiation]} \\ &= f(g(x)) \cdot g'(x) \quad &&\text{[Da } F'(t) = f(t)\text{]} \end{aligned}

Dette viser, at den sammensatte funktion $H(x) = F(g(x))$ differentieret giver integranden $f(g(x)) \cdot g'(x)$ .

Pr. definition af det ubestemte integral som mængden af samtlige stamfunktioner, der kun adskiller sig med en konstant $C$ , har vi dermed:

$\int f(g(x)) \cdot g'(x) \, dx = F(g(x)) + C$

Hvilket afslutter beviset.

Q.E.D. ∎

Bevis 2: Separation af variable i differentialligninger

Dette bevis etablerer den stringente baggrund for at løse separable differentialligninger på formen $y' = g(x) \cdot h(y)$ .

Tilknyttet emne i pensum: Separation af Variable

Sætning (Separationsmetoden)

Lad $y = y(x)$ være en differentiabel funktion, der opfylder differentialligningen: $\frac{dy}{dx} = g(x) \cdot h(y)$ Hvor $h(y) \neq 0$ , og $g(x), h(y)$ er kontinuerte funktioner. Da er den fuldstændige løsning givet ved ligningen: $\int \frac{1}{h(y)} \, dy = \int g(x) \, dx$

Bevismetode: Integration ved substitution

Da $h(y) \neq 0$ , kan vi dividere differentialligningen med $h(y)$ på begge sider af lighedstegnet:

$\frac{1}{h(y)} \cdot \frac{dy}{dx} = g(x)$

Vi integrerer begge sider med hensyn til $x$ :

$\int \frac{1}{h(y)} \cdot \frac{dy}{dx} \, dx = \int g(x) \, dx$

For at omskrive venstre side af ligningen, lader vi $H(y)$ være en stamfunktion til $\frac{1}{h(y)}$ (dvs. $H'(y) = \frac{1}{h(y)}$ ).

Vi anvender kædereglen til at differentiere den sammensatte funktion $H(y(x))$ med hensyn til $x$ :

\frac{d}{dx} \bigl[ H(y(x)) \bigr] = H'(y) \cdot \frac{dy}{dx} = \frac{1}{h(y)} \cdot \frac{dy}{dx}

Da integranden på venstre side er den afledte af $H(y(x))$ , kan vi integrere direkte:

$\int \frac{1}{h(y)} \cdot \frac{dy}{dx} \, dx = H(y) + C_1$

Dermed har vi:

$H(y) + C_1 = \int g(x) \, dx$

Da $H(y) = \int \frac{1}{h(y)} \, dy$ , kan vi opsuge integrationskonstanten $C_1$ i den samlede konstant på højre side og skrive:

$\int \frac{1}{h(y)} \, dy = \int g(x) \, dx$

Dette beviser sætningen.

Q.E.D. ∎