Mundtlige Eksamensbeviser – Matematik C

Herunder finder du de formelle eksamensbeviser til Matematik C. De er struktureret med den præcision og stringens, du ville forvente i en universitetslærebog, men forklaret pædagogisk.

Bevis 1: To-punkts-formlen for en lineær funktion

Dette bevis etablerer formlerne for hældningskoefficienten $a$ og begyndelsesværdien $b$ for en ret linje.

Tilknyttet emne i pensum: Lineære Funktioner

Sætning (To-punkts-formlen for hældning og skæring)

Lad $f(x) = ax + b$ være en lineær funktion, og lad $(x_1, y_1)$ og $(x_2, y_2)$ være to punkter på grafen for $f$ , hvor $x_1 \neq x_2$ . Da er konstanterne $a$ og $b$ givet ved: $a = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \quad \text{og} \quad b = y_1 - a \cdot x_1$

Bevismetode: Direkte bevis (Algebraisk udledning)

Da punkterne $(x_1, y_1)$ og $(x_2, y_2)$ ligger på grafen for $f$ , er følgende ligningssystem opfyldt pr. definition:

$y_1 = a \cdot x_1 + b$
$y_2 = a \cdot x_2 + b$

Vi trækker ligning (1) fra ligning (2) for at eliminere skæringskonstanten $b$ :

\begin{aligned} y_2 - y_1 &= (a x_2 + b) - (a x_1 + b) \quad &&\text{[Subtraktion af ligning (1) fra (2)]} \\ &= a x_2 - a x_1 \quad &&\text{[Hæv parenteserne og reducer } b\text{]} \\ &= a(x_2 - x_1) \quad &&\text{[Faktoriser fælles hældning } a\text{]} \end{aligned}

Da $x_1 \neq x_2$ , er differencen $x_2 - x_1 \neq 0$ . Vi kan derfor dividere med $(x_2 - x_1)$ på begge sider af lighedstegnet for at isolere $a$ :

$a = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$

Dette beviser formlen for $a$ .

Herefter isolerer vi begyndelsesværdien $b$ ved direkte at tage udgangspunkt i ligning (1):

$y_1 = a \cdot x_1 + b \implies b = y_1 - a \cdot x_1$

Hvilket beviser formlen for $b$ .

Q.E.D. ∎

Bevis 2: Pythagoras’ Sætning

Dette bevis udleder den berømte relation mellem sidelængderne i en retvinklet trekant.

Tilknyttet emne i pensum: Pythagoras’ Sætning

Sætning (Pythagoras’ læresætning)

For enhver retvinklet trekant med katetelængderne $a$ og $b$ samt hypotenuselængden $c$ gælder relationen: $a^2 + b^2 = c^2$

Bevismetode: Geometrisk arealbevis

Vi betragter et kvadrat med sidelængden $(a + b)$ . Inden i dette kvadrat placeres fire kopier af den retvinklede trekant langs yderkanterne, hvilket danner et indre kvadrat med sidelængden $c$ .

Vi opstiller to ækvivalente metoder til beregning af det samlede areal:

\begin{aligned} A_{\text{Metode 1}} &= (a + b)^2 \quad &&\text{[Areal af det ydre kvadrat med sidelængde } a+b\text{]} \\ &= a^2 + b^2 + 2ab \quad &&\text{[Udviklet via 1. kvadratsætning]} \end{aligned}

\begin{aligned} A_{\text{Metode 2}} &= 4 \cdot \left(\frac{1}{2}ab\right) + c^2 \quad &&\text{[Summen af } 4\text{ trekanter og det indre } c\text{-kvadrat]} \\ &= 2ab + c^2 \quad &&\text{[Reducer brøkmultiplikation]} \end{aligned}

Da begge metoder beskriver det samme areal, sætter vi dem lig hinanden og isolerer:

\begin{aligned} a^2 + b^2 + 2ab &= 2ab + c^2 \\ a^2 + b^2 &= c^2 \quad &&\text{[Subtraher } 2ab\text{ på begge sider]} \end{aligned}

Hermed er Pythagoras’ sætning bevist.

Q.E.D. ∎