Separationsmetoden 🎯

Du har lært at opstille differentialligninger — nu er det tid til at løse dem! Separationsmetoden er dit vigtigste våben, og den virker overraskende elegant: vi “skiller” de to variable ad, så $y$ og $dy$ står på den ene side, og $x$ (eller $t$ ) og $dx$ (eller $dt$ ) står på den anden. Derefter integrerer vi begge sider.

Tænk på det som at sortere LEGO-klodser i to bunker — alle $y$ -klodser i én bunke, alle $t$ -klodser i en anden — og derefter bygge videre med hver bunke for sig.

Mestr denne teknik og optjen +150 XP!

Teori: Hvornår kan vi separere?

En differentialligning af 1. orden kan separeresAt omskrive en differentialligning, så alle y-led står på den ene side og alle x/t-led på den anden side. Herefter integreres begge sider., når den kan skrives på formen:

$\frac{dy}{dt} = f(t) \cdot g(y)$

Det vil sige, at højresiden er et produkt af en funktion af $t$ alene og en funktion af $y$ alene.

Eksempler på separable ligninger:

Differentialligning	$f(t)$	$g(y)$	Separabel?
$y' = 3y$	$3$	$y$	✅ Ja
$y' = t^2 \cdot y$	$t^2$	$y$	✅ Ja
$y' = ty + t$	$t$	$y + 1$	✅ Ja (faktoriser!)
$y' = t + y$	—	—	❌ Nej

Bemærk det tredje eksempel: $y' = ty + t = t(y + 1)$ , som kan separeres efter faktorisering!

Teori: Separationsmetoden trin for trin

Givet en separabel differentialligning $\frac{dy}{dt} = f(t) \cdot g(y)$ følger vi disse trin:

Trin 1 — Adskil variablene:

Divider begge sider med $g(y)$ og gang med $dt$ :

$\frac{1}{g(y)} \, dy = f(t) \, dt$

Nu står alt med $y$ på venstre side og alt med $t$ på højre side.

Trin 2 — Integrer begge sider:

$\int \frac{1}{g(y)} \, dy = \int f(t) \, dt$

Begge integraler giver en integrationskonstant, men vi samler dem til én konstant $C$ på højre side.

Trin 3 — Isoler $y$ (hvis muligt):

Løs for $y$ som funktion af $t$ for at få den eksplicitte løsning.

Trin 4 — Indsæt begyndelsesbetingelse (hvis givet):

Bestem $C$ ud fra $y(t_0) = y_0$ .

Vigtigt forbehold: Når vi dividerer med $g(y)$ , antager vi at $g(y) \neq 0$ . Hvis $g(y_0) = 0$ for en værdi $y_0$ , er $y = y_0$ en stationær løsningEn konstant løsning til en differentialligning, der svarer til en ligevægtstilstand. (ligevægtsløsning), som vi skal tjekke separat.

[!NOTE] Se den formelle, trinvise udledning og eksamensbeviset for denne metode i: Mundtlige Beviser (A) – Separation af variable.

Interaktiv Løser

Separation af Variable

Klik et vilkårligt sted på planen for at indstille begyndelsesbetingelsen (x₀, y₀). Se hvordan separationsmetodens integrationskonstant C beregnes i realtid!

Vælg differentialligning

Hældningerne danner cirkler. Hældningen er vinkelret på stedvektoren.

Begyndelsesværdi (x₀, y₀)

x₀:1.50

y₀:1.50

Separations Trin:

1. Separer:

y \, dy = -x \, dx

2. Integrer:

\frac{1}{2} y^2 = -\frac{1}{2} x^2 + C_1

3. Generel formel:

x^2 + y^2 = C

4. Indsæt

(x_0, y_0) = (1.50, 1.50)

1.50^2 + 1.50^2 = C

C = 4.5000

Løsning:

x^2 + y^2 = 4.50

(Radius:

R = 2.12

)

Vis Eksempel: Løsning af y’ = ky (grundmodellen) ⚡

Opgave: Løs differentialligningen $\frac{dy}{dt} = ky$ ved separation.

Løsning:

Trin 1 — Adskil variablene (antag $y \neq 0$ ):

$\frac{1}{y} \, dy = k \, dt$

Trin 2 — Integrer begge sider:

\begin{aligned} \int \frac{1}{y} \, dy &= \int k \, dt \\ \ln|y| &= kt + C_1 \end{aligned}

Trin 3 — Isoler $y$ :

\begin{aligned} |y| &= e^{kt + C_1} \\ |y| &= e^{C_1} \cdot e^{kt} \\ y &= \pm e^{C_1} \cdot e^{kt} \end{aligned}

Vi sætter $C = \pm e^{C_1}$ (som kan være enhver konstant $\neq 0$ ):

$y = Ce^{kt}$

Trin 4 — Tjek stationær løsning:

Vi antog $y \neq 0$ . Men $y = 0$ (dvs. $C = 0$ ) er også en løsning, da $y' = 0 = k \cdot 0 = ky$ ✓.

Derfor er den fuldstændige løsning:

$\boxed{y = Ce^{kt}, \quad C \in \mathbb{R}}$

Dette er den berømte eksponentielle vækstmodel! ✅

Vis Eksempel: Separation med begyndelsesbetingelse ⚡

Opgave: Løs $\frac{dy}{dt} = -2y$ , $y(0) = 7$ .

Løsning:

Trin 1 — Adskil variablene:

$\frac{1}{y} \, dy = -2 \, dt$

Trin 2 — Integrer:

\begin{aligned} \int \frac{1}{y} \, dy &= \int -2 \, dt \\ \ln|y| &= -2t + C_1 \end{aligned}

Trin 3 — Isoler $y$ :

$y = Ce^{-2t}$

Trin 4 — Bestem $C$ fra begyndelsesbetingelsen $y(0) = 7$ :

\begin{aligned} y(0) &= Ce^{-2 \cdot 0} \\ 7 &= C \cdot 1 \\ C &= 7 \end{aligned}

Den partikulære løsning:

$\boxed{y = 7e^{-2t}}$

Verificering: $y' = -14e^{-2t}$ og $-2y = -2 \cdot 7e^{-2t} = -14e^{-2t}$ ✅

Desuden: $y(0) = 7e^0 = 7$ ✅

Vis Eksempel: Separation af y’ = t · y² ⚡

Opgave: Løs $\frac{dy}{dt} = t \cdot y^2$ , $y(0) = 1$ .

Løsning:

Trin 1 — Adskil variablene (antag $y \neq 0$ ):

$\frac{1}{y^2} \, dy = t \, dt$

$y^{-2} \, dy = t \, dt$

Trin 2 — Integrer begge sider:

\begin{aligned} \int y^{-2} \, dy &= \int t \, dt \\ \frac{y^{-1}}{-1} &= \frac{t^2}{2} + C_1 \\ -\frac{1}{y} &= \frac{t^2}{2} + C_1 \end{aligned}

Trin 3 — Isoler $y$ :

\begin{aligned} \frac{1}{y} &= -\frac{t^2}{2} - C_1 \\ y &= \frac{1}{-\frac{t^2}{2} - C_1} = \frac{-2}{t^2 + C} \end{aligned}

hvor $C = 2C_1$ .

Trin 4 — Bestem $C$ fra $y(0) = 1$ :

\begin{aligned} 1 &= \frac{-2}{0 + C} \\ C &= -2 \end{aligned}

Den partikulære løsning:

$\boxed{y = \frac{-2}{t^2 - 2} = \frac{2}{2 - t^2}}$

Verificering: Vi tjekker at $y(0) = \frac{2}{2 - 0} = 1$ ✅

Vi tjekker differentialligningen:

\begin{aligned} y' &= \frac{d}{dt}\left(\frac{2}{2 - t^2}\right) = \frac{2 \cdot 2t}{(2 - t^2)^2} = \frac{4t}{(2 - t^2)^2} \end{aligned}

\begin{aligned} t \cdot y^2 &= t \cdot \left(\frac{2}{2 - t^2}\right)^2 = t \cdot \frac{4}{(2 - t^2)^2} = \frac{4t}{(2 - t^2)^2} \quad \checkmark \end{aligned}

Bemærk: Løsningen er kun gyldig for $t^2 < 2$ , dvs. $-\sqrt{2} < t < \sqrt{2}$ . ✅

Teori: Verificering af løsninger

Når du har fundet en løsning, er det vigtigt at verificereAt kontrollere en løsning ved at indsætte den i den originale differentialligning og tjekke, at begge sider er ens. den. Det gør du i tre trin:

1. Tjek differentialligningen: Beregn $y'$ fra din løsning og tjek, at den opfylder differentialligningen.

2. Tjek begyndelsesbetingelsen: Indsæt $t = t_0$ og tjek, at $y(t_0) = y_0$ .

3. Tjek gyldighed: Er løsningen defineret i det relevante interval?

Verificering er ikke bare “godt håndværk” — det er ofte en del af eksamensopgaven! At springe verificeringen over er som at aflevere en opgave uden at sætte navn på. 😄

Vis Eksempel: Separation med proportionalitet til difference ⚡

Opgave: Løs $\frac{dy}{dt} = 3(10 - y)$ , $y(0) = 2$ .

Denne type differentialligning opstår f.eks. ved Newtons afkølingslov.

Løsning:

Trin 1 — Adskil variablene (antag $y \neq 10$ ):

$\frac{1}{10 - y} \, dy = 3 \, dt$

Trin 2 — Integrer begge sider:

\begin{aligned} \int \frac{1}{10 - y} \, dy &= \int 3 \, dt \\ -\ln|10 - y| &= 3t + C_1 \end{aligned}

Her brugte vi substitutionen $u = 10 - y$ , $du = -dy$ .

Trin 3 — Isoler $y$ :

\begin{aligned} \ln|10 - y| &= -3t - C_1 \\ |10 - y| &= e^{-C_1} \cdot e^{-3t} \\ 10 - y &= Ae^{-3t} \quad (A = \pm e^{-C_1})\\ y &= 10 - Ae^{-3t} \end{aligned}

Trin 4 — Bestem $A$ fra $y(0) = 2$ :

\begin{aligned} 2 &= 10 - Ae^0 \\ 2 &= 10 - A \\ A &= 8 \end{aligned}

Den partikulære løsning:

$\boxed{y = 10 - 8e^{-3t}}$

Fortolkning: Når $t \to \infty$ nærmer $y$ sig $10$ (ligevægtspunktet). Det svarer til f.eks. at kaffen nærmer sig rumtemperaturen. ✅

Teori: Oversigt over separationsmetoden — tjekliste

Brug denne tjekliste, når du løser en differentialligning med separation:

✅ Før separation:

Er ligningen separabel? Kan højresiden skrives som $f(t) \cdot g(y)$ ?
Er der stationære løsninger ( $g(y) = 0$ )?

✅ Under separation:

Er alle $y$ -led (inkl. $dy$ ) på venstre side?
Er alle $t$ -led (inkl. $dt$ ) på højre side?
Er integralerne korrekt udregnet?
Har du husket integrationskonstanten $C$ ?

✅ Efter separation:

Er $y$ isoleret korrekt?
Er begyndelsesbetingelsen indsat (hvis givet)?
Har du verificeret løsningen?
Er definitionsområdet angivet (hvis relevant)?

Vis Bevis: Hvorfor separation virker ⚡

Matematisk begrundelse:

Givet $\frac{dy}{dt} = f(t) \cdot g(y)$ med $g(y) \neq 0$ .

Vi definerer $H(y) = \int \frac{1}{g(y)} \, dy$ og $F(t) = \int f(t) \, dt$ .

Betragt funktionen $H(y(t))$ . Ved kædereglen:

\begin{aligned} \frac{d}{dt} H(y(t)) &= H'(y) \cdot y'(t) \\ &= \frac{1}{g(y)} \cdot f(t) \cdot g(y) \\ &= f(t) \\ &= F'(t) \end{aligned}

Altså er $\frac{d}{dt} H(y(t)) = F'(t)$ , hvilket giver:

$H(y(t)) = F(t) + C$

som er præcis det resultat, vi får ved at “separere og integrere”. Separation er altså en korrekt matematisk procedure — ikke bare et smart trick! ✅

🏋️ Træningsopgaver

Opgave 1: Løs følgende differentialligninger ved separation:

a) $\frac{dy}{dt} = 4y$

b) $\frac{dy}{dt} = -\frac{y}{3}$

c) $\frac{dy}{dt} = t \cdot y$

Opgave 2: Løs begyndelsesværdiproblemerne:

a) $y' = 5y$ , $y(0) = 2$

b) $y' = -3y$ , $y(0) = 100$

c) $y' = 2(8 - y)$ , $y(0) = 0$

Opgave 3: Verificer at $y = 3e^{4t}$ er løsning til $y' = 4y$ , $y(0) = 3$ .

Opgave 4: En patients medicinkoncentration i blodet (i mg/L) aftager med en hastighed, der er proportional med koncentrationen. Ved $t = 0$ er koncentrationen 120 mg/L, og efter 4 timer er den 60 mg/L.

a) Opstil og løs differentialligningen.

b) Hvornår er koncentrationen nede på 10 mg/L?

Opgave 5: Løs $\frac{dy}{dt} = \frac{t^2}{y}$ , $y(0) = 3$ ved separation.

Opgave 6 (Boss-kamp!): En vandtank indeholder 100 liter rent vand. Der pumpes saltvand ind, og den velomrørte blanding pumpes ud. Saltmængden $S(t)$ (i gram) opfylder $S' = 5 - 0{,}02 \cdot S$ , $S(0) = 0$ . Løs differentialligningen og bestem, hvornår saltmængden når 200 gram.

Quiz – Test din forståelse

Matematik Boss-Kamp ⚔️

Løs opgavesættet

Op til +50 XP

Hvad er det første trin i separationsmetoden?