Lineære funktioner 📏

Lineære funktioner er de simpleste og mest anvendte funktioner i matematik. De beskriver konstant vækst — en lige linje i koordinatsystemet. Fra mobilabonnementer til fartkontrol: overalt hvor noget vokser med en fast rate, er der en lineær funktion i spil.

Gør dig klar til at mestre den rette linje — det er din første boss-kamp! ⚔️

Teori: Den lineære funktion y = ax + b

En lineær funktionEn funktion af formen f(x) = ax + b, hvor a og b er konstanter. Grafen er en ret linje. har forskriften:

f(x) = ax + b

hvor:

$a$ er hældningskoefficientenHældningskoefficienten angiver, hvor stejlt linjen stiger eller falder. Den fortæller, hvor meget y ændrer sig, når x vokser med 1. (også kaldet hældningen)
$b$ er skæringen med y-aksenSkæringen med y-aksen, dvs. den y-værdi hvor linjen krydser y-aksen (x = 0). (også kaldet y-intercept eller begyndelsesværdi)

Hvad fortæller $a$ og $b$ ?

Parameter	Betydning	Effekt på grafen
$a > 0$	Positiv hældning	Linjen stiger fra venstre mod højre (voksende funktion)
$a < 0$	Negativ hældning	Linjen falder fra venstre mod højre (aftagende funktion)
$a = 0$	Ingen hældning	Vandret linje ( $f(x) = b$ for alle $x$ )
$b$	Begyndelsesværdi	Linjen krydser $y$ -aksen i punktet $(0, b)$

Hældningen som ændringsrate:

a = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{\text{ændring i } y}{\text{ændring i } x}

Når $x$ vokser med $1$ , vokser $f(x)$ med $a$ .

Interaktiv Lineær Funktion: f(x) = 1.5x - 1

Juster hældningen a og skæringen b for at se hvordan den rette linje og hældningstrekanten ændrer sig.

Hældningskoefficient (a):1.5

Linjen er voksende (stiger).

Skæring med y-aksen (b):-1.0

Skæringspunkt på y-aksen: (0, -1).

Skæring med y-aksen:(0, -1)

Nulpunkt (skæring med x-aksen):(0.67, 0)

Vis Eksempel: Aflæs a og b fra en forskrift ⚡

Opgave: Bestem hældning og skæring med $y$ -aksen for $f(x) = -3x + 7$ .

Løsning:

Vi sammenligner med $f(x) = ax + b$ :

f(x) = \underbrace{-3}_{a}x + \underbrace{7}_{b}

Hældningen er $a = -3$ . Det betyder at $f(x)$ falder med $3$ , hver gang $x$ vokser med $1$ .
Skæringen med $y$ -aksen er $b = 7$ . Linjen krydser $y$ -aksen i punktet $(0, 7)$ .

Kontrol: $f(0) = -3 \cdot 0 + 7 = 7$ ✓

Teori: Skæring med akserne

Skæring med y-aksen: Sæt $x = 0$ ind i forskriften:

f(0) = a \cdot 0 + b = b

Skæringspunktet med $y$ -aksen er altid $(0, b)$ .

Skæring med x-aksen (nulpunktet): Sæt $f(x) = 0$ og løs for $x$ :

\begin{aligned} ax + b &= 0 \\ ax &= -b \\ x &= -\frac{b}{a} \quad (a \neq 0) \end{aligned}

Skæringspunktet med $x$ -aksen er $\left(-\frac{b}{a}, 0\right)$ .

Skæring mellem to linjer: Givet $f(x) = a_1 x + b_1$ og $g(x) = a_2 x + b_2$ . Skæringspunktet findes ved at løse:

\begin{aligned} f(x) &= g(x) \\ a_1 x + b_1 &= a_2 x + b_2 \\ (a_1 - a_2)x &= b_2 - b_1 \\ x &= \frac{b_2 - b_1}{a_1 - a_2} \quad (a_1 \neq a_2) \end{aligned}

Vis Eksempel: Find skæringspunkter ⚡

Opgave: Givet $f(x) = 2x - 4$ . Find skæring med begge akser.

Løsning:

Skæring med y-aksen: Vi sætter $x = 0$ :

f(0) = 2 \cdot 0 - 4 = -4

Skæringspunkt med $y$ -aksen: $(0, -4)$ .

Skæring med x-aksen: Vi sætter $f(x) = 0$ :

\begin{aligned} 2x - 4 &= 0 \\ 2x &= 4 \\ x &= 2 \end{aligned}

Skæringspunkt med $x$ -aksen: $(2, 0)$ .

Vis Eksempel: Skæring mellem to linjer ⚡

Opgave: Find skæringspunktet mellem $f(x) = 3x + 1$ og $g(x) = -x + 9$ .

Løsning:

Vi sætter de to udtryk lig hinanden:

\begin{aligned} 3x + 1 &= -x + 9 \\ 3x + x &= 9 - 1 \\ 4x &= 8 \\ x &= 2 \end{aligned}

Vi finder $y$ -værdien ved at sætte $x = 2$ ind i en af funktionerne:

f(2) = 3 \cdot 2 + 1 = 7

Kontrol: $g(2) = -2 + 9 = 7$ ✓

Skæringspunktet er $(2, 7)$ .

Teori: To-punkts-formlen

Hvis vi kender to punkter på linjen, $(x_1, y_1)$ og $(x_2, y_2)$ , kan vi bestemme forskriften $f(x) = ax + b$ .

Trin 1: Beregn hældningen:

a = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}

Trin 2: Find $b$ ved at indsætte ét af punkterne i $y = ax + b$ :

b = y_1 - a \cdot x_1

Samlet giver dette to-punkts-formlenEn formel der bestemmer en lineær funktions forskrift ud fra to kendte punkter på linjen:

y - y_1 = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}(x - x_1)

[!NOTE] Se det formelle, trinvise eksamensbevis for denne sætning i det dedikerede modul: To-punkts-formlen (C) Bevis.

Vis Eksempel: Bestem forskrift ud fra to punkter ⚡

Opgave: En ret linje går gennem punkterne $(1, 3)$ og $(4, 9)$ . Bestem forskriften.

Løsning:

Trin 1: Beregn hældningen:

a = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{9 - 3}{4 - 1} = \frac{6}{3} = 2

Trin 2: Find $b$ ved at indsætte $(1, 3)$ :

\begin{aligned} y_1 &= a \cdot x_1 + b \\ 3 &= 2 \cdot 1 + b \\ 3 &= 2 + b \\ b &= 1 \end{aligned}

Forskriften er: $f(x) = 2x + 1$ .

Kontrol med det andet punkt: $f(4) = 2 \cdot 4 + 1 = 9$ ✓

Teori: Parallelle og vinkelrette linjer

Parallelle linjer har samme hældning:

f(x) = a_1 x + b_1 \quad \text{og} \quad g(x) = a_2 x + b_2 \quad \text{er parallelle} \iff a_1 = a_2

To parallelle linjer skærer aldrig hinanden (medmindre de er identiske).

Vinkelrette linjer har hældninger, der er hinandens negative reciprokkeTo tal er hinandens negative reciprokke, hvis deres produkt er -1:

f \perp g \iff a_1 \cdot a_2 = -1 \iff a_2 = -\frac{1}{a_1}

Huskeregel: Hvis den ene linje har hældning $a$ , har den vinkelrette linje hældning $-\frac{1}{a}$ .

Linje 1 hældning	Vinkelret linje hældning
$2$	$-\frac{1}{2}$
$-3$	$\frac{1}{3}$
$\frac{1}{4}$	$-4$
$1$	$-1$

Vis Eksempel: Parallel og vinkelret linje ⚡

Opgave: Givet linjen $l: f(x) = 3x - 2$ .

a) Find forskriften for den linje $m$ , der er parallel med $l$ og går gennem $(2, 1)$ .

b) Find forskriften for den linje $n$ , der er vinkelret på $l$ og går gennem $(0, 5)$ .

Løsning:

a) Parallel linje:

Parallelle linjer har samme hældning, så $a_m = 3$ .

Vi indsætter punktet $(2, 1)$ :

\begin{aligned} 1 &= 3 \cdot 2 + b \\ 1 &= 6 + b \\ b &= -5 \end{aligned}

Forskriften er $m: g(x) = 3x - 5$ .

b) Vinkelret linje:

Den vinkelrette hældning er:

a_n = -\frac{1}{a_l} = -\frac{1}{3}

Linjen går gennem $(0, 5)$ , så $b = 5$ :

n: h(x) = -\frac{1}{3}x + 5

Kontrol: $a_l \cdot a_n = 3 \cdot \left(-\frac{1}{3}\right) = -1$ ✓

Vis Eksempel: Lineær model i praksis ⚡

Opgave: Et mobilabonnement koster 79 kr. pr. måned plus 0,50 kr. pr. SMS. Opstil en lineær model for den månedlige pris $P$ som funktion af antal SMS $x$ .

Løsning:

Vi identificerer parametrene:

Startomkostning (fast pris) = 79 kr. → dette er $b$
Pris pr. SMS = 0,50 kr. → dette er $a$ (ændringsrate)

Modellen er:

P(x) = 0{,}50x + 79

Hvad koster 120 SMS?

P(120) = 0{,}50 \cdot 120 + 79 = 60 + 79 = 139 \text{ kr.}

Hvor mange SMS for 200 kr.?

\begin{aligned} 200 &= 0{,}50x + 79 \\ 121 &= 0{,}50x \\ x &= 242 \text{ SMS} \end{aligned}

🏋️ Træningsopgaver

Opgave 1: Bestem hældning og skæring med $y$ -aksen for:

a) $f(x) = 5x + 2$

b) $g(x) = -\frac{1}{2}x + 4$

c) $h(x) = 7$

Opgave 2: Find nulpunktet for $f(x) = 4x - 12$ .

Opgave 3: Bestem forskriften for den rette linje, der går gennem punkterne $(-2, 5)$ og $(3, -5)$ .

Opgave 4: Find skæringspunktet mellem $f(x) = 2x + 3$ og $g(x) = -x + 12$ .

Opgave 5: En linje $l$ har forskriften $f(x) = -2x + 1$ .

a) Bestem forskriften for en linje, der er parallel med $l$ og går gennem $(1, 4)$ .

b) Bestem forskriften for en linje, der er vinkelret på $l$ og går gennem $(4, 0)$ .

Opgave 6: En taxa kører en fast startpris på 39 kr. og derefter 12,50 kr. pr. km. Opstil en lineær model for prisen $P(x)$ , og beregn prisen for en tur på 15 km.

Quiz – Test din forståelse

Matematik Boss-Kamp ⚔️

Løs opgavesættet

Op til +50 XP

Hvad er hældningen for funktionen f(x) = -4x + 7?