Trekantsberegninger 🎯

Indtil nu har vi arbejdet med retvinklede trekanter — men virkeligheden er sjældent så pæn! De fleste trekanter i praksis er vilkårlige (ikke-retvinklede). I dette kapitel låser du op for de tre store formler, der lader dig beregne enhver trekant: sinusrelationerne, cosinusrelationerne og arealformlen. Det her er dit boss-level i geometri! 🏆

Teori: Navngivning i vilkårlige trekanter

I en vilkårlig trekant bruger vi følgende standardnotation:

Vinklerne kaldes $A$ , $B$ og $C$
Den modstående sideSiden modsat en vinkel. Fx er side a modsat vinkel A. til vinkel $A$ kaldes $a$ , til $B$ kaldes $b$ , og til $C$ kaldes $c$

Vinkelsummen gælder stadig:

A + B + C = 180°

De tre store sætninger i dette kapitel — sinusrelationerne, cosinusrelationerne og arealformlen — virker for alle trekanter, uanset om de er retvinklede eller ej.

Teori: Sinusrelationerne

SinusrelationerneSammenhængen a/sin(A) = b/sin(B) = c/sin(C), der gælder i enhver trekant. siger, at i en vilkårlig trekant er forholdet mellem en side og sinus til den modstående vinkel det samme for alle tre par:

\frac{a}{\sin(A)} = \frac{b}{\sin(B)} = \frac{c}{\sin(C)}

Alternativt kan vi skrive dem “omvendt”:

\frac{\sin(A)}{a} = \frac{\sin(B)}{b} = \frac{\sin(C)}{c}

Hvornår bruges sinusrelationerne?

Du kan bruge sinusrelationerne, når du kender:

To vinkler og én side (VVS) — find de manglende sider
To sider og én modstående vinkel (SSV) — find de manglende vinkler

Vigtigt om SSV-situationen: Når du kender to sider og en modstående vinkel, kan der sommetider være to løsninger (den tvetydige situationSituationen i SSV-tilfældet, hvor der kan eksistere to forskellige trekanter, der opfylder de givne betingelser.). Det skyldes, at $\sin(v) = \sin(180° - v)$ , så ligningen $\sin(B) = k$ kan have to løsninger for $B$ .

Vis Bevis: Sinusrelationerne via højde 🧠

Bevis:

Vi tegner højden $h$ fra $C$ ned til $AB$ (eller dens forlængelse). Denne højde deler trekanten i to retvinklede trekanter.

I den venstre retvinklede trekant:

\sin(A) = \frac{h}{b} \implies h = b \cdot \sin(A)

I den højre retvinklede trekant:

\sin(B) = \frac{h}{a} \implies h = a \cdot \sin(B)

Da begge udtryk er lig $h$ , kan vi sætte dem lig hinanden:

b \cdot \sin(A) = a \cdot \sin(B)

Vi dividerer begge sider med $\sin(A) \cdot \sin(B)$ :

\frac{b}{\sin(B)} = \frac{a}{\sin(A)}

Ved at gentage argumentet med højden fra $A$ eller $B$ viser vi, at det tredje forhold $\frac{c}{\sin(C)}$ også er lig de to andre. $\blacksquare$

Vis Eksempel: Find en side med sinusrelationerne (VVS) ⚡

Opgave: I $\triangle ABC$ er $A = 40°$ , $B = 75°$ og $a = 8$ . Find $b$ .

Løsning:

Vi finder først den tredje vinkel:

C = 180° - 40° - 75° = 65°

Vi opstiller sinusrelationen med de kendte/søgte størrelser:

\frac{a}{\sin(A)} = \frac{b}{\sin(B)}

Vi isolerer $b$ :

\begin{aligned} b &= \frac{a \cdot \sin(B)}{\sin(A)} \\ &= \frac{8 \cdot \sin(75°)}{\sin(40°)} \\ &= \frac{8 \cdot 0{,}9659}{0{,}6428} \\ &= \frac{7{,}7274}{0{,}6428} \\ &\approx 12{,}02 \end{aligned}

Svar: $b \approx 12{,}0$ .

Vis Eksempel: Find en vinkel med sinusrelationerne (SSV) ⚡

Opgave: I $\triangle ABC$ er $a = 10$ , $b = 14$ og $A = 30°$ . Find vinkel $B$ .

Løsning:

Vi bruger sinusrelationen:

\frac{\sin(B)}{b} = \frac{\sin(A)}{a}

Vi isolerer $\sin(B)$ :

\begin{aligned} \sin(B) &= \frac{b \cdot \sin(A)}{a} \\ &= \frac{14 \cdot \sin(30°)}{10} \\ &= \frac{14 \cdot 0{,}5}{10} \\ &= \frac{7}{10} \\ &= 0{,}7 \end{aligned}

Vi finder vinklen:

B = \sin^{-1}(0{,}7) \approx 44{,}4°

Tvetydighed? Da $\sin(B) = 0{,}7$ har vi også den mulige løsning $B = 180° - 44{,}4° = 135{,}6°$ . Vi tjekker: $A + B = 30° + 135{,}6° = 165{,}6° < 180°$ , så denne løsning er også geometrisk mulig!

Der er altså to løsninger: $B \approx 44{,}4°$ eller $B \approx 135{,}6°$ .

Teori: Cosinusrelationerne

CosinusrelationerneSammenhængen a² = b² + c² - 2bc·cos(A), der gælder i enhver trekant og er en generalisering af Pythagoras' sætning. er en generalisering af Pythagoras’ sætning til vilkårlige trekanter:

a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cdot \cos(A)

b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cdot \cos(B)

c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos(C)

Bemærk: Hvis $A = 90°$ , så er $\cos(90°) = 0$ , og vi får $a^2 = b^2 + c^2$ — altså Pythagoras’ sætning! Cosinusrelationerne er altså en udvidelse af Pythagoras.

Hvornår bruges cosinusrelationerne?

To sider og den mellemliggende vinkel (SVS) — find den tredje side
Tre sider (SSS) — find en vinkel

Find en vinkel ud fra tre sider:

Vi isolerer $\cos(A)$ :

\cos(A) = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}

Interaktiv Visualisering: Trekantsberegninger (Vilkårlig Trekant)

Indstil kateterne $a, b$ og den mellemliggende vinkel $C$. Cosinusrelationerne bruges derefter til automatisk at beregne den modstående side $c$ og de resterende vinkler.

Side a7.0

Side b6.0

Vinkel C60°

Beregning af side c (Cosinusrelationen)

c² = a² + b² - 2ab · cos(C)
c² = 7.0² + 6.0² - 2 · 7.0 · 6.0 · cos(60°)
c² = 43.00
c = √43.00 = 6.56

De fundne vinkler

Vinkel A

67.6°

Vinkel B

52.4°

Anvendelse:Når vi kender to sider og den mellemliggende vinkel (SVS), bruger vi **cosinusrelationen** til at finde den sidste side. Herefter kan vi bruge enten sinus- eller cosinusrelationerne til at finde vinklerne.

Vis Bevis: Cosinusrelationerne via koordinater 🧠

Bevis:

Vi placerer trekanten i et koordinatsystem med $C$ i origo og $B$ på den positive $x$ -akse.

Koordinaterne bliver:

$C = (0, 0)$
$B = (a, 0)$
$A = (b \cos(C), b \sin(C))$

Afstanden $c = AB$ beregnes med afstandsformlen:

\begin{aligned} c^2 &= (b\cos(C) - a)^2 + (b\sin(C))^2 \\ &= b^2\cos^2(C) - 2ab\cos(C) + a^2 + b^2\sin^2(C) \\ &= a^2 + b^2\underbrace{(\cos^2(C) + \sin^2(C))}_{= 1} - 2ab\cos(C) \\ &= a^2 + b^2 - 2ab\cos(C) \quad \blacksquare \end{aligned}

Vis Eksempel: Find en side med cosinusrelationerne (SVS) ⚡

Opgave: I $\triangle ABC$ er $b = 7$ , $c = 9$ og $A = 52°$ . Find $a$ .

Løsning:

Vi bruger cosinusrelationen:

a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cdot \cos(A)

Vi indsætter:

\begin{aligned} a^2 &= 7^2 + 9^2 - 2 \cdot 7 \cdot 9 \cdot \cos(52°) \\ &= 49 + 81 - 126 \cdot 0{,}6157 \\ &= 130 - 77{,}58 \\ &= 52{,}42 \end{aligned}

Vi tager kvadratroden:

a = \sqrt{52{,}42} \approx 7{,}24

Svar: $a \approx 7{,}24$ .

Vis Eksempel: Find en vinkel med cosinusrelationerne (SSS) ⚡

Opgave: I $\triangle ABC$ er $a = 8$ , $b = 6$ og $c = 10$ . Find vinkel $C$ .

Løsning:

Vi bruger cosinusrelationen isoleret for $\cos(C)$ :

\cos(C) = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}

Vi indsætter:

\begin{aligned} \cos(C) &= \frac{8^2 + 6^2 - 10^2}{2 \cdot 8 \cdot 6} \\ &= \frac{64 + 36 - 100}{96} \\ &= \frac{0}{96} \\ &= 0 \end{aligned}

Vi finder vinklen:

C = \cos^{-1}(0) = 90°

Svar: $C = 90°$ .

Trekanten er altså retvinklet! Vi kan bekræfte: $8^2 + 6^2 = 64 + 36 = 100 = 10^2$ . ✓

Teori: Arealformlen

ArealformlenFormlen T = ½·a·b·sin(C) til at beregne arealet af en vilkårlig trekant, når man kender to sider og den mellemliggende vinkel. for en vilkårlig trekant lyder:

T = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot \sin(C)

Her er $a$ og $b$ to sider, og $C$ er den mellemliggende vinkelVinklen mellem de to kendte sider. (vinklen mellem siderne $a$ og $b$ ).

Formlen kan selvfølgelig skrives for alle tre par:

T = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot \sin(C) = \frac{1}{2} \cdot a \cdot c \cdot \sin(B) = \frac{1}{2} \cdot b \cdot c \cdot \sin(A)

Hvorfor virker den?

Arealet af en trekant er $T = \frac{1}{2} \cdot \text{grundlinje} \cdot \text{højde}$ . Hvis vi bruger $a$ som grundlinje, er højden $h = b \cdot \sin(C)$ (fra den retvinklede trekant dannet af højden):

T = \frac{1}{2} \cdot a \cdot \underbrace{b \cdot \sin(C)}_{= h} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot \sin(C)

Hvornår bruges arealformlen?

Altid når du kender to sider og den mellemliggende vinkel (SVS).

Bemærk: Hvis $C = 90°$ , får vi $T = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot \sin(90°) = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b$ , altså den velkendte formel for arealet af en retvinklet trekant.

Vis Eksempel: Areal med arealformlen ⚡

Opgave: I $\triangle ABC$ er $a = 12$ , $b = 9$ og $C = 65°$ . Find arealet.

Løsning:

Vi bruger arealformlen:

\begin{aligned} T &= \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot \sin(C) \\ &= \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 9 \cdot \sin(65°) \\ &= \frac{1}{2} \cdot 108 \cdot 0{,}9063 \\ &= 54 \cdot 0{,}9063 \\ &\approx 48{,}9 \end{aligned}

Svar: Arealet er $T \approx 48{,}9$ (areelenheder).

Vis Eksempel: Find en vinkel fra arealet ⚡

Opgave: En trekant har siderne $a = 10$ og $b = 8$ , og arealet er $T = 20$ . Find den mellemliggende vinkel $C$ .

Løsning:

Vi bruger arealformlen og isolerer $\sin(C)$ :

T = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot \sin(C)

\begin{aligned} \sin(C) &= \frac{2T}{a \cdot b} \\ &= \frac{2 \cdot 20}{10 \cdot 8} \\ &= \frac{40}{80} \\ &= 0{,}5 \end{aligned}

Vi finder vinklen:

C = \sin^{-1}(0{,}5) = 30°

(Eller $C = 150°$ — begge er mulige!)

Svar: $C = 30°$ (eller $C = 150°$ ).

Vis Eksempel: Komplet trekantsberegning ⚡

Opgave: I $\triangle ABC$ er $a = 15$ , $b = 11$ og $C = 48°$ . Find alle sider, vinkler og arealet.

Løsning:

Trin 1: Find side $c$ med cosinusrelationen:

\begin{aligned} c^2 &= a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos(C) \\ &= 15^2 + 11^2 - 2 \cdot 15 \cdot 11 \cdot \cos(48°) \\ &= 225 + 121 - 330 \cdot 0{,}6691 \\ &= 346 - 220{,}80 \\ &= 125{,}20 \end{aligned}

c = \sqrt{125{,}20} \approx 11{,}19

Trin 2: Find vinkel $A$ med sinusrelationen:

\begin{aligned} \sin(A) &= \frac{a \cdot \sin(C)}{c} \\ &= \frac{15 \cdot \sin(48°)}{11{,}19} \\ &= \frac{15 \cdot 0{,}7431}{11{,}19} \\ &= \frac{11{,}147}{11{,}19} \\ &\approx 0{,}9962 \end{aligned}

A = \sin^{-1}(0{,}9962) \approx 85{,}0°

Trin 3: Find vinkel $B$ :

B = 180° - A - C = 180° - 85{,}0° - 48° = 47{,}0°

Trin 4: Find arealet:

\begin{aligned} T &= \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot \sin(C) \\ &= \frac{1}{2} \cdot 15 \cdot 11 \cdot \sin(48°) \\ &= \frac{1}{2} \cdot 165 \cdot 0{,}7431 \\ &\approx 61{,}3 \end{aligned}

Svar:

Sider: $a = 15$ , $b = 11$ , $c \approx 11{,}2$
Vinkler: $A \approx 85{,}0°$ , $B \approx 47{,}0°$ , $C = 48°$
Areal: $T \approx 61{,}3$

Teori: Hvornår bruger du hvilken formel? — Beslutningsskema

Her er en oversigt over, hvornår du bruger de forskellige formler:

Kendte størrelser	Søgt størrelse	Formel
VVS (2 vinkler + 1 side)	Manglende sider	Sinusrelationen
SSV (2 sider + modstående vinkel)	Manglende vinkel	Sinusrelationen
SVS (2 sider + mellemliggende vinkel)	Manglende side	Cosinusrelationen
SSS (3 sider)	Vinkel	Cosinusrelationen
SVS (2 sider + mellemliggende vinkel)	Areal	Arealformlen

Strategi:

Identificér hvad du kender og hvad du søger
Vælg den rigtige formel fra tabellen
Indsæt og beregn
Tjek om resultatet er rimeligt (vinkler mellem 0° og 180°, sider positive)

🏋️ Træningsopgaver

Opgave 1: I $\triangle ABC$ er $A = 55°$ , $C = 70°$ og $a = 12$ . Find $b$ og $c$ .

Opgave 2: I $\triangle ABC$ er $a = 9$ , $c = 14$ og $B = 110°$ . Find $b$ .

Opgave 3: I $\triangle ABC$ er $a = 7$ , $b = 9$ og $c = 12$ . Find alle tre vinkler.

Opgave 4: En trekant har siderne $a = 6$ og $b = 10$ med mellemliggende vinkel $C = 50°$ . Find arealet.

Opgave 5: I en trekant kender man $a = 20$ , $b = 15$ og $A = 40°$ . Find vinkel $B$ . Undersøg om der er to løsninger.

Opgave 6: Et trekantet grundstykke har sidelængderne $a = 45$ m, $b = 60$ m og $c = 72$ m. Beregn grundstykkets areal. (Hint: Find først en vinkel med cosinusrelationen, brug derefter arealformlen)

Opgave 7: To skibe sejler fra samme havn. Det ene sejler $12$ km mod nord-øst ( $45°$ ), det andet sejler $18$ km mod øst-syd-øst ( $110°$ ). Hvor langt er de fra hinanden?

Quiz – Test din forståelse

Matematik Boss-Kamp ⚔️

Løs opgavesættet

Op til +50 XP

Hvornår kan du IKKE bruge sinusrelationerne?