Afstande i rummet 🎯

I 2D kunne vi beregne afstanden mellem to punkter med Pythagoras. I 3D udvider vi dette til afstande mellem punkter, planer og linjer — og det kræver kraftfulde værktøjer som skalarproduktet og krydsproduktet.

At beherske afstandsberegninger er som at låse op for en ny evne i dit matematik-arsenal. Lad os komme i gang! ⚔️

Teori: Afstand mellem to punkter i 3D

AfstandenAfstanden mellem to punkter i 3D er den lige linje mellem dem, beregnet med den udvidede pythagoræiske sætning. mellem to punkter $P_1(x_1, y_1, z_1)$ og $P_2(x_2, y_2, z_2)$ i rummet er:

d(P_1, P_2) = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2}

Dette er en direkte udvidelse af afstandsformlen fra 2D — vi tilføjer blot $z$ -koordinatens bidrag.

Man kan også tænke på det som længden af vektoren fra $P_1$ til $P_2$ :

d(P_1, P_2) = |\overrightarrow{P_1P_2}|

Vis Eksempel: Afstand mellem to punkter ⚡

Opgave: Find afstanden mellem $A(1, 2, 3)$ og $B(4, 6, 3)$ .

Løsning:

\begin{aligned} d(A, B) &= \sqrt{(4 - 1)^2 + (6 - 2)^2 + (3 - 3)^2} \\ &= \sqrt{3^2 + 4^2 + 0^2} \\ &= \sqrt{9 + 16 + 0} \\ &= \sqrt{25} \\ &= 5 \end{aligned}

Bemærk, at da $z$ -koordinaterne er ens, reducerer dette sig til en 2D-afstand i $xy$ -planen.

Teori: Afstand fra punkt til plan

Givet et plan med ligningen $ax + by + cz + d = 0$ og et punkt $P_0(x_0, y_0, z_0)$ , er afstanden fra punktet til planetDen korteste afstand fra et punkt til et plan. Denne afstand måles langs normalen til planet.:

\text{dist}(P_0, \alpha) = \frac{|a \cdot x_0 + b \cdot y_0 + c \cdot z_0 + d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}

Intuition: Tælleren er den numeriske værdi af planligningen evalueret i punktet (med absolut værdi). Nævneren er længden af normalvektoren $\vec{n} = \begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix}$ .

Interaktiv Visualisering: Afstand fra punkt til plan i 3D

Brug skyderne til at ændre punktets koordinater $P(x_1, y_1, z_1)$ og planens ligning $ax + by + cz + d = 0$.

P_x = 3

P_y = 4

P_z = 5

a = 1

b = 1

c = 2

d = -6

3D Afstandsformel

Geometrisk Note:Afstanden er den vinkelrette (ortogonale) linje fra P til planen alpha. Normalvektoren n = (a, b, c) står vinkelret på alle retningsvektorer i planen alpha.

Vis Bevis: Afstandsformlen punkt-plan ⚡

Påstand: Afstanden fra $P_0(x_0, y_0, z_0)$ til planet $\alpha: ax + by + cz + d = 0$ er $\frac{|ax_0 + by_0 + cz_0 + d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}$ .

Bevis:

Lad $Q(x_1, y_1, z_1)$ være et vilkårligt punkt i planet $\alpha$ . Da gælder:

ax_1 + by_1 + cz_1 + d = 0

Vektoren fra $Q$ til $P_0$ er:

\overrightarrow{QP_0} = \begin{pmatrix} x_0 - x_1 \\ y_0 - y_1 \\ z_0 - z_1 \end{pmatrix}

Den korteste afstand fra $P_0$ til planet er projektionen af $\overrightarrow{QP_0}$ på normalvektoren $\vec{n} = \begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix}$ :

\text{dist} = \frac{|\overrightarrow{QP_0} \cdot \vec{n}|}{|\vec{n}|}

Vi beregner tælleren:

\begin{aligned} \overrightarrow{QP_0} \cdot \vec{n} &= a(x_0 - x_1) + b(y_0 - y_1) + c(z_0 - z_1) \\ &= (ax_0 + by_0 + cz_0) - \underbrace{(ax_1 + by_1 + cz_1)}_{= -d} \\ &= ax_0 + by_0 + cz_0 + d \end{aligned}

Altså:

\text{dist}(P_0, \alpha) = \frac{|ax_0 + by_0 + cz_0 + d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}} \quad \square

Vis Eksempel: Afstand fra punkt til plan ⚡

Opgave: Find afstanden fra punktet $P(3, 1, -2)$ til planet $2x - y + 2z - 6 = 0$ .

Løsning:

Vi bruger formlen med $a = 2$ , $b = -1$ , $c = 2$ , $d = -6$ og $(x_0, y_0, z_0) = (3, 1, -2)$ :

Trin 1: Beregn tælleren:

|ax_0 + by_0 + cz_0 + d| = |2 \cdot 3 + (-1) \cdot 1 + 2 \cdot (-2) + (-6)| = |6 - 1 - 4 - 6| = |-5| = 5

Trin 2: Beregn nævneren:

\sqrt{a^2 + b^2 + c^2} = \sqrt{4 + 1 + 4} = \sqrt{9} = 3

Trin 3: Afstanden:

\text{dist}(P, \alpha) = \frac{5}{3} \approx 1{,}67

Teori: Afstand fra punkt til linje

Givet en linje $\ell$ med parameterfremstilling:

\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_0 \\ y_0 \\ z_0 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} r_1 \\ r_2 \\ r_3 \end{pmatrix}

og et punkt $P$ , så er afstanden fra $P$ til $\ell$ Den korteste afstand fra et punkt til en linje. Denne afstand måles vinkelret på linjen.:

\text{dist}(P, \ell) = \frac{|\overrightarrow{QP} \times \vec{r}|}{|\vec{r}|}

hvor $Q$ er et vilkårligt punkt på linjen og $\vec{r}$ er linjens retningsvektor.

Intuition: Krydsproduktet $\overrightarrow{QP} \times \vec{r}$ giver en vektor, hvis længde er arealet af parallelogrammet udspændt af $\overrightarrow{QP}$ og $\vec{r}$ . Dividerer vi med grundlinjen $|\vec{r}|$ , får vi højden — som netop er den vinkelrette afstand.

Vis Bevis: Afstandsformlen punkt-linje ⚡

Bevis:

Lad $Q$ være et punkt på linjen, $\vec{r}$ linjens retningsvektor, og $P$ det ydre punkt.

Arealet af parallelogrammet udspændt af $\overrightarrow{QP}$ og $\vec{r}$ er:

A = |\overrightarrow{QP} \times \vec{r}|

Men arealet er også grundlinje gange højde:

A = |\vec{r}| \cdot h

hvor $h$ er den vinkelrette afstand fra $P$ til linjen.

Ved at isolere $h$ får vi:

h = \text{dist}(P, \ell) = \frac{|\overrightarrow{QP} \times \vec{r}|}{|\vec{r}|} \quad \square

Vis Eksempel: Afstand fra punkt til linje ⚡

Opgave: Find afstanden fra $P(1, 1, 1)$ til linjen $\ell: \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$ .

(Linjen er $x$ -aksen.)

Løsning:

Trin 1: Vælg $Q = (0, 0, 0)$ (punkt på linjen) og $\vec{r} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$ .

\overrightarrow{QP} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}

Trin 2: Beregn krydsproduktet:

\overrightarrow{QP} \times \vec{r} = \begin{pmatrix} 1 \cdot 0 - 1 \cdot 0 \\ 1 \cdot 1 - 1 \cdot 0 \\ 1 \cdot 0 - 1 \cdot 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}

Trin 3: Beregn længden:

|\overrightarrow{QP} \times \vec{r}| = \sqrt{0^2 + 1^2 + (-1)^2} = \sqrt{2}

Trin 4: Afstanden:

\text{dist}(P, \ell) = \frac{\sqrt{2}}{1} = \sqrt{2} \approx 1{,}41

Det giver mening: $P(1, 1, 1)$ har afstanden $\sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$ til $x$ -aksen.

Teori: Afstand mellem to vindskæve linjer

To linjer i rummet, der hverken skærer hinanden eller er parallelle, kaldes vindskæveVindskæve linjer er to linjer i 3D, der hverken skærer hinanden eller er parallelle. De ligger i forskellige planer..

Givet to linjer:

\ell_1: \vec{p_1} + t \cdot \vec{r_1} \quad \text{og} \quad \ell_2: \vec{p_2} + s \cdot \vec{r_2}

er afstanden mellem dem:

\text{dist}(\ell_1, \ell_2) = \frac{|\overrightarrow{P_1P_2} \cdot (\vec{r_1} \times \vec{r_2})|}{|\vec{r_1} \times \vec{r_2}|}

hvor $P_1$ er et punkt på $\ell_1$ , $P_2$ er et punkt på $\ell_2$ , og $\overrightarrow{P_1P_2} = \vec{p_2} - \vec{p_1}$ .

Intuition: Krydsproduktet $\vec{r_1} \times \vec{r_2}$ er vinkelret på begge linjer. Projektionen af forbindelsesvektoren $\overrightarrow{P_1P_2}$ på denne retning giver den korteste afstand.

Vis Bevis: Afstandsformlen linje-linje ⚡

Bevis:

Den korteste forbindelse mellem to vindskæve linjer er vinkelret på begge linjer. Retningen af denne forbindelse er derfor:

\vec{n} = \vec{r_1} \times \vec{r_2}

Lad $P_1$ ligge på $\ell_1$ og $P_2$ på $\ell_2$ . Afstanden er projektionen af $\overrightarrow{P_1P_2}$ på $\vec{n}$ :

\text{dist}(\ell_1, \ell_2) = \left|\text{proj}_{\vec{n}} \overrightarrow{P_1P_2}\right| = \frac{|\overrightarrow{P_1P_2} \cdot \vec{n}|}{|\vec{n}|}

Da $\vec{n} = \vec{r_1} \times \vec{r_2}$ , får vi:

\text{dist}(\ell_1, \ell_2) = \frac{|\overrightarrow{P_1P_2} \cdot (\vec{r_1} \times \vec{r_2})|}{|\vec{r_1} \times \vec{r_2}|} \quad \square

Bemærk: Valget af $P_1$ og $P_2$ er ligegyldigt, da projektionen på $\vec{n}$ kun afhænger af afstanden mellem linjerne og ikke af de specifikke punkter.

Vis Eksempel: Afstand mellem vindskæve linjer ⚡

Opgave: Find afstanden mellem linjerne:

\ell_1: \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \qquad \ell_2: \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} + s \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}

Løsning:

Trin 1: Identificer punkter og retningsvektorer:

P_1 = (1, 0, 0), \quad \vec{r_1} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}, \quad P_2 = (0, 0, 1), \quad \vec{r_2} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}

Trin 2: Beregn $\overrightarrow{P_1P_2}$ :

\overrightarrow{P_1P_2} = \begin{pmatrix} 0 - 1 \\ 0 - 0 \\ 1 - 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}

Trin 3: Beregn krydsproduktet $\vec{r_1} \times \vec{r_2}$ :

\vec{r_1} \times \vec{r_2} = \begin{pmatrix} 1 \cdot 0 - 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 1 - 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 - 1 \cdot 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix}

Trin 4: Beregn skalarproduktet i tælleren:

\overrightarrow{P_1P_2} \cdot (\vec{r_1} \times \vec{r_2}) = (-1)(0) + (0)(0) + (1)(-1) = -1

Trin 5: Beregn længden af krydsproduktet:

|\vec{r_1} \times \vec{r_2}| = \sqrt{0^2 + 0^2 + (-1)^2} = 1

Trin 6: Afstanden:

\text{dist}(\ell_1, \ell_2) = \frac{|-1|}{1} = 1

$\ell_1$ er parallel med $y$ -aksen og forskudt 1 langs $x$ -aksen, mens $\ell_2$ er parallel med $x$ -aksen og forskudt 1 langs $z$ -aksen. Afstanden 1 giver geometrisk mening.

Vis Eksempel: Er linjerne vindskæve? ⚡

Opgave: Afgør om linjerne er vindskæve, parallelle eller skærer hinanden:

\ell_1: \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \qquad \ell_2: \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 5 \end{pmatrix} + s \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}

Løsning:

Trin 1: Tjek om retningsvektorerne er parallelle. $\vec{r_1} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}$ og $\vec{r_2} = \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}$ er ikke proportionale, da $\frac{2}{1} \neq \frac{-1}{1}$ . Altså er de ikke parallelle.

Trin 2: Tjek om de skærer hinanden. Sæt ligningerne lig med hinanden:

\begin{cases} 1 + t = 2 + 2s \\ 2 + t = 3 - s \\ 3 + t = 5 + s \end{cases}

Fra ligning 2: $t = 1 - s$ . Indsæt i ligning 3:

3 + 1 - s = 5 + s \implies 4 - s = 5 + s \implies s = -\frac{1}{2}

Dermed $t = 1 - (-\frac{1}{2}) = \frac{3}{2}$ . Kontrollér i ligning 1:

1 + \frac{3}{2} = \frac{5}{2} \quad \text{og} \quad 2 + 2 \cdot (-\frac{1}{2}) = 1

Da $\frac{5}{2} \neq 1$ , er ligning 1 ikke opfyldt. Linjerne skærer ikke hinanden.

Konklusion: Linjerne er vindskæve.

🏋️ Træningsopgaver

Opgave 1: Find afstanden mellem punkterne $A(3, -1, 4)$ og $B(0, 3, 0)$ .

Opgave 2: Find afstanden fra punktet $P(1, 2, 3)$ til planet $x + 2y + 2z - 9 = 0$ .

Opgave 3: Find afstanden fra $P(2, 3, 1)$ til linjen $\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$ .

Opgave 4: Find afstanden mellem de vindskæve linjer:

\ell_1: \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \qquad \ell_2: \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} + s \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}

Opgave 5: Et plan har ligningen $3x - 4y + 12z + 26 = 0$ . Find afstanden fra origo til planet.

Quiz – Test din forståelse

Matematik Boss-Kamp ⚔️

Løs opgavesættet

Op til +50 XP

Hvad er afstanden mellem punkterne (0, 0, 0) og (1, 2, 2)?