Substitution 🎯

Du kender potensreglen, sumreglen og de grundlæggende stamfunktioner. Men hvad gør du, når integranden er en sammensat funktion som $\sin(3x+1)$ eller $(2x+5)^7$ ? Her kommer substitutionsmetodenEn teknik hvor man erstatter en del af integranden med en ny variabel for at forenkle integralet ind — den er kædereglen baglæns, og den er din nøgle til at låse op for langt flere integraler!

Teori: Grundideen bag substitution

Husk kædereglen for differentiation:

\frac{d}{dx}\bigl[F(g(x))\bigr] = F'(g(x)) \cdot g'(x) = f(g(x)) \cdot g'(x)

Hvis vi “vender den om” og integrerer begge sider, får vi:

\int f(g(x)) \cdot g'(x) \, dx = F(g(x)) + C

[!NOTE] Til den mundtlige eksamen forventes du at kunne bevise denne integrationsregel formelt. Se beviset her: Mundtlige Beviser (A) – Integration ved substitution.

Substitutionsmetoden formaliserer dette. Vi sætter:

u = g(x) \quad \Rightarrow \quad \frac{du}{dx} = g'(x) \quad \Rightarrow \quad du = g'(x) \, dx

Nu kan vi omskrive integralet:

\int f(\underbrace{g(x)}_{u}) \cdot \underbrace{g'(x) \, dx}_{du} = \int f(u) \, du = F(u) + C

Det nye integral i $u$ er ofte meget nemmere at løse!

Teori: Fremgangsmåde for substitution (ubestemt integral)

Her er opskriften trin for trin:

Trin 1 — Vælg $u$ : Identificer en “indre funktion” i integranden. God tommelfingerregel: vælg den del, der sidder inde i en anden funktion, eller den mest komplicerede del.

Trin 2 — Find $du$ : Differentiér $u$ med hensyn til $x$ :

\frac{du}{dx} = u'(x) \quad \Rightarrow \quad du = u'(x) \, dx

Trin 3 — Omskriv integralet: Erstat alle forekomster af $x$ med $u$ og $dx$ med $du$ . Der må ikke være noget $x$ tilbage!

Trin 4 — Integrér i $u$ : Løs det forenklede integral.

Trin 5 — Substituer tilbage: Erstat $u$ med $g(x)$ for at få svaret i $x$ .

Hvornår virker det? Substitution virker, når $g'(x)$ (eller en konstant ganget med $g'(x)$ ) optræder som faktor i integranden.

Vis Eksempel: Grundlæggende substitution ⚡

Find $\int 2x \cdot e^{x^2} \, dx$ .

Trin 1: Vi ser den sammensatte funktion $e^{x^2}$ . Den indre funktion er $x^2$ . Sæt:

u = x^2

Trin 2: Differentiér:

\frac{du}{dx} = 2x \quad \Rightarrow \quad du = 2x \, dx

Perfekt — $2x \, dx$ optræder præcis i integranden!

Trin 3: Omskriv:

\int \underbrace{2x \, dx}_{du} \cdot e^{\underbrace{x^2}_{u}} = \int e^u \, du

Trin 4: Integrér:

\int e^u \, du = e^u + C

Trin 5: Substituer tilbage:

= e^{x^2} + C

Tjek: $(e^{x^2})' = e^{x^2} \cdot 2x = 2x \cdot e^{x^2}$ ✓

Vis Eksempel: Substitution med konstant-justering ⚡

Find $\int x^2 \cdot (x^3 + 1)^5 \, dx$ .

Trin 1: Den indre funktion er $x^3 + 1$ . Sæt:

u = x^3 + 1

Trin 2: Differentiér:

du = 3x^2 \, dx

Vi har $x^2 \, dx$ i integranden, men $du = 3x^2 \, dx$ . Vi løser:

x^2 \, dx = \frac{1}{3} \, du

Trin 3: Omskriv:

\int x^2 \cdot (x^3+1)^5 \, dx = \int u^5 \cdot \frac{1}{3} \, du = \frac{1}{3} \int u^5 \, du

Trin 4: Integrér:

\frac{1}{3} \cdot \frac{u^6}{6} + C = \frac{u^6}{18} + C

Trin 5: Substituer tilbage:

= \frac{(x^3+1)^6}{18} + C

Teori: Lineær substitution (genvej)

Et meget almindeligt specialtilfælde er, når den indre funktion er lineærEn funktion af formen ax + b, hvor a og b er konstanter, altså af formen $u = ax + b$ .

I det tilfælde er $du = a \, dx$ , og vi får den simple formel:

\int f(ax+b) \, dx = \frac{1}{a} \cdot F(ax+b) + C

hvor $F$ er stamfunktionen til $f$ .

Eksempler:

\int \cos(3x+2) \, dx = \frac{1}{3}\sin(3x+2) + C

\int e^{5x-1} \, dx = \frac{1}{5}e^{5x-1} + C

\int (4x+7)^6 \, dx = \frac{1}{4} \cdot \frac{(4x+7)^7}{7} + C = \frac{(4x+7)^7}{28} + C

\int \frac{1}{2x+3} \, dx = \frac{1}{2} \ln|2x+3| + C

Tommelfingerregel: Divider med koefficienten foran $x$ i den indre funktion.

Vis Eksempel: Lineær substitution ⚡

Find $\int \sin(5x - 3) \, dx$ .

Vi bruger genvejen: den indre funktion er $5x - 3$ (lineær med $a = 5$ ).

Stamfunktionen til $\sin$ er $-\cos$ , så:

\int \sin(5x-3) \, dx = \frac{1}{5} \cdot (-\cos(5x-3)) + C = -\frac{\cos(5x-3)}{5} + C

Tjek: $\left(-\frac{\cos(5x-3)}{5}\right)' = -\frac{1}{5} \cdot (-\sin(5x-3)) \cdot 5 = \sin(5x-3)$ ✓

Vis Eksempel: Ikke-lineær substitution med omskrivning ⚡

Find $\int \frac{x}{\sqrt{x^2+1}} \, dx$ .

Trin 1: Den indre funktion under roden er $x^2 + 1$ . Sæt:

u = x^2 + 1

Trin 2: Differentiér:

du = 2x \, dx \quad \Rightarrow \quad x \, dx = \frac{1}{2} \, du

Trin 3: Omskriv integralet:

\int \frac{x \, dx}{\sqrt{x^2+1}} = \int \frac{\frac{1}{2} \, du}{\sqrt{u}} = \frac{1}{2} \int u^{-1/2} \, du

Trin 4: Integrér med potensreglen:

\frac{1}{2} \cdot \frac{u^{1/2}}{1/2} + C = \frac{1}{2} \cdot 2\sqrt{u} + C = \sqrt{u} + C

Trin 5: Substituer tilbage:

= \sqrt{x^2 + 1} + C

Teori: Substitution i bestemte integraler

Når vi anvender substitution i et bestemt integral, har vi to muligheder:

Metode 1 — Ændr grænserne: Omregn integrationsgrænserne til $u$ -værdier.

Hvis $u = g(x)$ , ny nedre grænse $= g(a)$ , ny øvre grænse $= g(b)$ :

\int_a^b f(g(x)) \cdot g'(x) \, dx = \int_{g(a)}^{g(b)} f(u) \, du

Metode 2 — Substituer tilbage: Find stamfunktionen i $u$ , substituer tilbage til $x$ , og indsæt de oprindelige grænser.

Metode 1 er normalt den eleganteste, fordi man slipper for at substituere tilbage.

Vis Eksempel: Bestemt integral med grænseændring ⚡

Beregn $\int_0^1 2x \cdot e^{x^2} \, dx$ .

Trin 1: Sæt $u = x^2$ , så $du = 2x \, dx$ .

Trin 2: Ændr grænserne:

Når $x = 0$ : $u = 0^2 = 0$
Når $x = 1$ : $u = 1^2 = 1$

Trin 3: Omskriv med nye grænser:

\int_0^1 2x \cdot e^{x^2} \, dx = \int_0^1 e^u \, du

Trin 4: Beregn:

\int_0^1 e^u \, du = \bigl[e^u\bigr]_0^1 = e^1 - e^0 = e - 1

Bemærk: Vi behøvede aldrig at substituere tilbage til $x$ !

Vis Eksempel: Bestemt integral med trigonometrisk substitution ⚡

Beregn $\int_0^{\pi/2} \sin(x) \cdot \cos^3(x) \, dx$ .

Trin 1: Her er $\cos(x)$ den funktion, der optræder i en potens, og dens afledede $-\sin(x)$ optræder som faktor. Sæt:

u = \cos(x) \quad \Rightarrow \quad du = -\sin(x) \, dx \quad \Rightarrow \quad \sin(x) \, dx = -du

Trin 2: Ændr grænserne:

Når $x = 0$ : $u = \cos(0) = 1$
Når $x = \pi/2$ : $u = \cos(\pi/2) = 0$

Trin 3: Omskriv:

\int_0^{\pi/2} \cos^3(x) \cdot \sin(x) \, dx = \int_1^0 u^3 \cdot (-du) = \int_0^1 u^3 \, du

Vi vendte grænserne og fjernede minustegnet.

Trin 4: Beregn:

\int_0^1 u^3 \, du = \left[\frac{u^4}{4}\right]_0^1 = \frac{1}{4} - 0 = \frac{1}{4}

Teori: Sammensatte funktioner — mønstergenkendelse

De mest almindelige substitutionsmønstre i gymnasiet:

Integrand-mønster	Substitution	Resultat
$f'(x) \cdot e^{f(x)}$	$u = f(x)$	$e^{f(x)} + C$
$\frac{f'(x)}{f(x)}$	$u = f(x)$	$\ln
$f'(x) \cdot [f(x)]^n$	$u = f(x)$	$\frac{[f(x)]^{n+1}}{n+1} + C$
$f'(x) \cdot \sin(f(x))$	$u = f(x)$	$-\cos(f(x)) + C$
$f'(x) \cdot \cos(f(x))$	$u = f(x)$	$\sin(f(x)) + C$

Nøglen: Kig altid efter om den afledede af den indre funktion optræder som faktor!

Vis Eksempel: Mønster f’(x)/f(x) ⚡

Find $\int \frac{2x + 3}{x^2 + 3x + 7} \, dx$ .

Observation: Tælleren $2x + 3$ er præcis den afledede af nævneren $x^2 + 3x + 7$ .

\frac{d}{dx}(x^2 + 3x + 7) = 2x + 3

Vi genkender mønsteret $\frac{f'(x)}{f(x)}$ . Direkte resultat:

\int \frac{2x+3}{x^2+3x+7} \, dx = \ln|x^2+3x+7| + C

Da $x^2 + 3x + 7 > 0$ for alle $x$ (diskriminanten er negativ), kan vi droppe absolutværditegnet:

= \ln(x^2+3x+7) + C

Vis Eksempel: Mønster f’(x) · [f(x)]^n ⚡

Find $\int \cos(x) \cdot \sin^4(x) \, dx$ .

Observation: Vi ser $\sin(x)$ i en potens og $\cos(x)$ som faktor. Da $(\sin(x))' = \cos(x)$ , matcher dette mønsteret $f'(x) \cdot [f(x)]^n$ .

Sæt $u = \sin(x)$ , $du = \cos(x) \, dx$ :

\int \cos(x) \cdot \sin^4(x) \, dx = \int u^4 \, du = \frac{u^5}{5} + C = \frac{\sin^5(x)}{5} + C

🏋️ Træningsopgaver

Opgave 1: Find $\int 6x^2 \cdot (x^3 - 5)^4 \, dx$ ved substitution.

Opgave 2: Find $\int e^{3x+1} \, dx$ ved lineær substitution.

Opgave 3: Find $\int \frac{\cos(x)}{\sin(x)} \, dx$ . (Hint: Genkend mønsteret $\frac{f'(x)}{f(x)}$ .)

Opgave 4: Beregn $\int_0^2 x \cdot (x^2+1)^3 \, dx$ med substitution og grænseændring.

Opgave 5: Find $\int \frac{e^x}{e^x + 1} \, dx$ .

Opgave 6: Beregn $\int_0^{\pi} \sin^2(x) \cdot \cos(x) \, dx$ .

Opgave 7: Find $\int \frac{4x}{\sqrt{2x^2+3}} \, dx$ . (Hint: $u = 2x^2 + 3$ .)

Quiz – Test din forståelse

Matematik Boss-Kamp ⚔️

Løs opgavesættet

Op til +50 XP

Hvad er grundideen bag substitutionsmetoden?