Cirklens ligning 🎯

Cirklen er — sammen med linjen — en af geometriens mest fundamentale figurer. I analytisk plangeometri beskriver vi cirkler med ligninger, og det åbner op for at beregne skæringspunkter, tangenter og meget mere rent algebraisk.

I dette kapitel lærer du at aflæse centrum og radius fra en ligning, omskrive mellem cirklens to standardformer og bestemme skæringspunkter mellem linjer og cirkler. Level up! 🔵

Teori: Cirklens ligning — standardform

En cirkelEn cirkel er mængden af alle punkter i planen, der har samme afstand (radius) til et fast punkt (centrum). med centrum $C(a, b)$ og radius $r$ består af alle punkter $P(x, y)$ , der har afstanden $r$ til $C$ :

|CP| = r

Når vi kvadrerer begge sider (og bruger afstandsformlen), får vi cirklens ligning på standardformCirklens ligning på formen (x-a)² + (y-b)² = r², hvor (a,b) er centrum og r er radius.:

(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2

Her er:

$(a, b)$ cirklens centrum
$r$ cirklens radius (altid $r > 0$ )

Aflæsning: Givet ligningen kan du direkte aflæse centrum og radius:

Ligning	Centrum	Radius
$(x - 3)^2 + (y + 2)^2 = 25$	$(3, -2)$	$r = \sqrt{25} = 5$
$(x + 1)^2 + (y - 4)^2 = 9$	$(-1, 4)$	$r = \sqrt{9} = 3$
$x^2 + y^2 = 16$	$(0, 0)$	$r = \sqrt{16} = 4$

Bemærk: Pas på fortegnene! I $(x - a)^2$ er centrum-koordinaten $a$ . Hvis der står $(x + 1)^2 = (x - (-1))^2$ , så er $a = -1$ .

Interaktiv Visualisering: Cirklens Ligning

Brug skyderne til at ændre centrum $(a, b)$ og radius $r$ . Se hvordan punktet $P(x, y)$ på cirklens periferi danner en retvinklet trekant, hvor $(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2$ .

Centrum x (a) = 1

Centrum y (b) = 2

Radius r = 3.5

Vinkel på periferi = 45°

Cirklens Ligningsformel

(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2

(3.47 - 1)^2 + (4.47 - 2)^2 = 3.5^2

(2.47)^2 + (2.47)^2 = 12.25

6.13 + 6.12 = \mathbf{12.25}

Hvorfor Pythagoras?Cirklen består af alle punkter

P(x,y)

, der har den præcise afstand

r

til centrum

C(a,b)

. Trekanten viser, at

(x-a)

(y-b)

er kateterne i en retvinklet trekant med hypotenuse

r

. Ligningen er derfor blot Pythagoras' sætning!

Vis Eksempel: Aflæs centrum og radius ⚡

Opgave: Bestem centrum og radius for cirklen med ligningen:

(x - 5)^2 + (y + 3)^2 = 49

Løsning:

Trin 1: Sammenlign med standardformen $(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$ :

(x - \underbrace{5}_{a})^2 + (y - \underbrace{(-3)}_{b})^2 = \underbrace{49}_{r^2}

Trin 2: Aflæs:

Centrum: $C(a, b) = C(5, -3)$
Radius: $r = \sqrt{49} = 7$

Vis Eksempel: Opstil cirklens ligning fra centrum og radius ⚡

Opgave: Find ligningen for cirklen med centrum $C(-2, 6)$ og radius $r = 4$ .

Løsning:

Indsæt direkte i standardformen:

(x - (-2))^2 + (y - 6)^2 = 4^2

(x + 2)^2 + (y - 6)^2 = 16

Vis Eksempel: Opstil cirklens ligning fra centrum og punkt ⚡

Opgave: En cirkel har centrum $C(1, -2)$ og går gennem punktet $P(4, 2)$ . Find cirklens ligning.

Løsning:

Trin 1: Find radius som afstanden $|CP|$ :

r = |CP| = \sqrt{(4 - 1)^2 + (2 - (-2))^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5

Trin 2: Opstil ligningen:

(x - 1)^2 + (y + 2)^2 = 25

Tjek: Indsæt $P(4, 2)$ :

(4 - 1)^2 + (2 + 2)^2 = 9 + 16 = 25 \; \checkmark

Teori: Den udvidede form — $x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0$

Når man ganger parenteserne ud i standardformen, får man den udvidede formCirklens ligning på formen x² + y² + Dx + Ey + F = 0, som fås ved at gange standardformen ud.:

x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0

Sammenhæng med standardformen:

Udvidelsen af $(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$ giver:

x^2 - 2ax + a^2 + y^2 - 2by + b^2 = r^2

x^2 + y^2 + \underbrace{(-2a)}_{D}x + \underbrace{(-2b)}_{E}y + \underbrace{(a^2 + b^2 - r^2)}_{F} = 0

Altså:

D = -2a, \quad E = -2b, \quad F = a^2 + b^2 - r^2

Fra udvidet form til standardform bruger vi kvadratkompletteringEn algebraisk teknik, hvor man tilføjer og trækker et tal for at danne et perfekt kvadrat.:

a = -\frac{D}{2}, \quad b = -\frac{E}{2}, \quad r = \sqrt{a^2 + b^2 - F} = \sqrt{\frac{D^2}{4} + \frac{E^2}{4} - F}

Eksistenskravet: Der eksisterer kun en cirkel, hvis $r^2 > 0$ , dvs. $\frac{D^2}{4} + \frac{E^2}{4} - F > 0$ .

Vis Eksempel: Kvadratkomplettering — fra udvidet til standardform ⚡

Opgave: Bestem centrum og radius for cirklen:

x^2 + y^2 - 6x + 4y - 12 = 0

Løsning:

Trin 1: Gruppér $x$ - og $y$ -leddene:

(x^2 - 6x) + (y^2 + 4y) = 12

Trin 2: Kvadratkompleter for $x$ : Tag halvdelen af koefficienten foran $x$ og kvadrer: $\left(\frac{-6}{2}\right)^2 = 9$ :

(x^2 - 6x + 9) + (y^2 + 4y) = 12 + 9

Trin 3: Kvadratkompleter for $y$ : $\left(\frac{4}{2}\right)^2 = 4$ :

(x^2 - 6x + 9) + (y^2 + 4y + 4) = 12 + 9 + 4

Trin 4: Skriv som perfekte kvadrater:

(x - 3)^2 + (y + 2)^2 = 25

Trin 5: Aflæs:

Centrum: $C(3, -2)$
Radius: $r = \sqrt{25} = 5$

Vis Eksempel: Endnu en kvadratkomplettering ⚡

Opgave: Bestem centrum og radius for:

x^2 + y^2 + 8x - 2y + 8 = 0

Løsning:

Trin 1: Gruppér:

(x^2 + 8x) + (y^2 - 2y) = -8

Trin 2: Kvadratkompleter for $x$ : $\left(\frac{8}{2}\right)^2 = 16$ :

(x^2 + 8x + 16) + (y^2 - 2y) = -8 + 16

Trin 3: Kvadratkompleter for $y$ : $\left(\frac{-2}{2}\right)^2 = 1$ :

(x^2 + 8x + 16) + (y^2 - 2y + 1) = -8 + 16 + 1

Trin 4: Skriv som perfekte kvadrater:

(x + 4)^2 + (y - 1)^2 = 9

Trin 5: Aflæs:

Centrum: $C(-4, 1)$
Radius: $r = \sqrt{9} = 3$

Teori: Skæring mellem linje og cirkel

For at finde skæringspunkter mellem en linje og en cirkel bruger vi substitution:

Isoler én variabel fra linjens ligning (fx $y$ )
Indsæt i cirklens ligning — du får en andengradsligning i den anden variabel
Løs andengradsligningen med diskriminantformlen
Find den anden koordinat ved at indsætte i linjens ligning

DiskriminantenDiskriminanten D = b² - 4ac afgør antallet af løsninger i en andengradsligning. $d = b^2 - 4ac$ fortæller os antallet af skæringspunkter:

Diskriminant	Antal skæringspunkter	Geometrisk tolkning
$d > 0$	2 skæringspunkter	Linjen er en sekant
$d = 0$	1 skæringspunkt	Linjen er en tangent
$d < 0$	0 skæringspunkter	Linjen rammer ikke cirklen

Vis Eksempel: Find skæringspunkter mellem linje og cirkel ⚡

Opgave: Find skæringspunkterne mellem linjen $y = x + 1$ og cirklen $x^2 + y^2 = 25$ .

Løsning:

Trin 1: Indsæt $y = x + 1$ i cirklens ligning:

x^2 + (x + 1)^2 = 25

Trin 2: Udregn:

\begin{aligned} x^2 + x^2 + 2x + 1 &= 25 \\ 2x^2 + 2x + 1 - 25 &= 0 \\ 2x^2 + 2x - 24 &= 0 \\ x^2 + x - 12 &= 0 \end{aligned}

Trin 3: Løs andengradsligningen med diskriminanten:

d = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 1 + 48 = 49

x = \frac{-1 \pm \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 \pm 7}{2}

x_1 = \frac{-1 + 7}{2} = 3, \quad x_2 = \frac{-1 - 7}{2} = -4

Trin 4: Find $y$ -koordinaterne:

y_1 = 3 + 1 = 4, \quad y_2 = -4 + 1 = -3

Svar: Skæringspunkterne er $(3, 4)$ og $(-4, -3)$ .

Tjek: $(3)^2 + (4)^2 = 9 + 16 = 25$ ✓ og $(-4)^2 + (-3)^2 = 16 + 9 = 25$ ✓

Vis Eksempel: Tangent til cirkel ⚡

Opgave: Undersøg om linjen $y = 2x + 5$ er tangent til cirklen $(x + 1)^2 + (y - 3)^2 = 5$ .

Løsning:

Trin 1: Indsæt $y = 2x + 5$ i cirklens ligning:

(x + 1)^2 + (2x + 5 - 3)^2 = 5

(x + 1)^2 + (2x + 2)^2 = 5

Trin 2: Udregn:

\begin{aligned} (x^2 + 2x + 1) + (4x^2 + 8x + 4) &= 5 \\ 5x^2 + 10x + 5 &= 5 \\ 5x^2 + 10x &= 0 \\ 5x(x + 2) &= 0 \end{aligned}

Trin 3: Løsninger:

x = 0 \quad \text{eller} \quad x = -2

Da der er to løsninger, er linjen en sekant (ikke en tangent).

Trin 4: Skæringspunkterne:

$x = 0$ : $y = 2 \cdot 0 + 5 = 5$ → $(0, 5)$
$x = -2$ : $y = 2 \cdot (-2) + 5 = 1$ → $(-2, 1)$

Vis Eksempel: Skæring med linje på almen form ⚡

Opgave: Find skæringspunkterne mellem linjen $2x - y + 1 = 0$ og cirklen $x^2 + y^2 - 4x + 2y - 20 = 0$ .

Løsning:

Trin 1: Isoler $y$ fra linjen:

y = 2x + 1

Trin 2: Indsæt i cirklens ligning:

x^2 + (2x + 1)^2 - 4x + 2(2x + 1) - 20 = 0

Trin 3: Udregn trin for trin:

\begin{aligned} x^2 + 4x^2 + 4x + 1 - 4x + 4x + 2 - 20 &= 0 \\ 5x^2 + 4x - 17 &= 0 \end{aligned}

Trin 4: Brug diskriminantformlen:

d = 4^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-17) = 16 + 340 = 356

x = \frac{-4 \pm \sqrt{356}}{10} = \frac{-4 \pm 2\sqrt{89}}{10} = \frac{-2 \pm \sqrt{89}}{5}

Da $d > 0$ , er der to skæringspunkter:

x_1 = \frac{-2 + \sqrt{89}}{5} \approx 1.49, \quad x_2 = \frac{-2 - \sqrt{89}}{5} \approx -2.29

$y$ -koordinaterne fås fra $y = 2x + 1$ :

y_1 \approx 3.97, \quad y_2 \approx -3.57

Teori: Specielle tilfælde og tips

Cirkel med centrum i origo: Hvis $C(0, 0)$ :

x^2 + y^2 = r^2

Enhedscirklen: Cirkel med centrum i origo og radius $1$ :

x^2 + y^2 = 1

Ligger et punkt på cirklen? Indsæt punktets koordinater. Hvis ligningen er opfyldt, ligger punktet på cirklen:

Venstresiden $<$ højresiden → punktet er inde i cirklen
Venstresiden $=$ højresiden → punktet er på cirklen
Venstresiden $>$ højresiden → punktet er uden for cirklen

Tangentlinjens ligning: Tangenten til cirklen $x^2 + y^2 = r^2$ i røringspunktet $P_0(x_0, y_0)$ er:

x_0 \cdot x + y_0 \cdot y = r^2

🏋️ Træningsopgaver

Opgave 1: Bestem centrum og radius for cirklen $(x + 4)^2 + (y - 7)^2 = 36$ .

Opgave 2: Opstil ligningen for cirklen med centrum $C(3, -1)$ og radius $r = 6$ .

Opgave 3: En cirkel har centrum $C(0, 0)$ og går gennem punktet $P(5, 12)$ . Find cirklens ligning.

Opgave 4: Bestem centrum og radius for cirklen $x^2 + y^2 + 10x - 6y + 18 = 0$ ved kvadratkomplettering.

Opgave 5: Find skæringspunkterne mellem linjen $y = -x + 7$ og cirklen $x^2 + y^2 = 25$ .

Opgave 6: Undersøg om linjen $y = 3x + 10$ er tangent til, sekant for eller uden for cirklen $x^2 + y^2 = 10$ .

Opgave 7: Ligger punktet $P(1, 2)$ inde i, på eller uden for cirklen $(x - 3)^2 + (y + 1)^2 = 16$ ?

Opgave 8: Opstil ligningen for cirklen med centrum $C(2, -3)$ , der går gennem punktet $A(6, 0)$ .

Quiz – Test din forståelse

Matematik Boss-Kamp ⚔️

Løs opgavesættet

Op til +50 XP

Hvad er centrum for cirklen

(x + 3)^2 + (y - 5)^2 = 16

Cirklens ligning 🎯

Teori: Cirklens ligning — standardform

Interaktiv Visualisering: Cirklens Ligning

Cirklens Ligningsformel

Teori: Den udvidede form — x2+y2+Dx+Ey+F=0x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0x2+y2+Dx+Ey+F=0

Teori: Skæring mellem linje og cirkel

Teori: Specielle tilfælde og tips

🏋️ Træningsopgaver

Quiz – Test din forståelse

Løs opgavesættet

Teori: Den udvidede form — $x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0$