Binomialfordeling 🎯

Forestil dig, at du kaster en mønt 10 gange og tæller antallet af “plat”. Eller at du gætter på 20 multiple-choice-spørgsmål og tæller, hvor mange du rammer rigtigt. I begge tilfælde gentager du det samme forsøg flere gange og tæller succeser. Det er præcis det, binomialfordelingen beskriver – og den er dit stærkeste værktøj, når du skal beregne sandsynligheder i denne type situationer.

Lad os bygge forståelsen op trin for trin – fra det enkelte forsøg til den fulde fordeling. 🚀

Teori: Bernoulli-forsøg

Et Bernoulli-forsøgEt forsøg med præcis to mulige udfald: succes og fiasko. er den simpleste byggesten i sandsynlighedsregning. Det er et forsøg med præcis to mulige udfald:

Succes (det udfald vi er interesserede i) – med sandsynlighed $p$
Fiasko (det andet udfald) – med sandsynlighed $1-p$

Vi kalder ofte $1-p$ for $q$ , så $q = 1-p$ .

Eksempler på Bernoulli-forsøg:

Forsøg	Succes	Fiasko	$p$
Møntkast	Plat	Krone	$0{,}5$
Terningkast (slå 6)	Slår 6	Slår ikke 6	$\frac{1}{6}$
Multiple choice (4 valg)	Rigtigt svar	Forkert svar	$0{,}25$
Kvalitetskontrol	Defekt produkt	OK produkt	$0{,}02$

Et enkelt Bernoulli-forsøg har:

Middelværdi: $\mu = p$
Varians: $\sigma^2 = p(1-p) = pq$

Teori: Fra Bernoulli til Binomial

Når vi gentager et Bernoulli-forsøg $n$ gange uafhængigt af hinanden, og vi tæller antallet af succeser $X$ , så følger $X$ en binomialfordelingEn diskret sandsynlighedsfordeling, der beskriver antallet af succeser i n uafhængige Bernoulli-forsøg..

Vi skriver:

X \sim b(n, p)

og læser det som: ” $X$ er binomialfordelt med $n$ forsøg og succesandsynlighed $p$ ”.

De fire betingelser for en binomialfordeling:

Fast antal forsøg: Vi udfører præcis $n$ forsøg.
To udfald: Hvert forsøg har kun to mulige udfald (succes/fiasko).
Konstant sandsynlighed: Sandsynligheden $p$ for succes er den samme i hvert forsøg.
Uafhængighed: Udfaldene af de enkelte forsøg påvirker ikke hinanden.

Den stokastiske variabel $X$ kan antage værdierne $0, 1, 2, \ldots, n$ .

Vis Eksempel: Er det binomialfordelt? ⚡

Afgør om følgende situationer kan beskrives med en binomialfordeling:

Situation 1: Du kaster en terning 12 gange og tæller antallet af 6’ere.

✅ Ja! Her er $n=12$ , succes = “slå 6”, $p = \frac{1}{6}$ , og kastene er uafhængige. Alle fire betingelser er opfyldt, så $X \sim b\!\left(12, \frac{1}{6}\right)$ .

Situation 2: Du trækker 5 kort fra en bunke på 52 kort (uden tilbagelægning) og tæller antallet af esser.

❌ Nej! Sandsynligheden ændrer sig efter hvert træk (uden tilbagelægning), så betingelse 3 og 4 er ikke opfyldt. Her ville man i stedet bruge den hypergeometriske fordeling.

Situation 3: En fabrik producerer pærer, hvor 3% er defekte. Du tester 50 tilfældigt udvalgte pærer.

✅ Ja! (tilnærmet) Her er $n=50$ , $p=0{,}03$ . Selvom vi teknisk set trækker uden tilbagelægning, er produktionen så stor, at sandsynligheden næsten er konstant. Vi bruger $X \sim b(50;\, 0{,}03)$ .

Teori: Binomialkoefficienten

Før vi kan beregne sandsynligheder, har vi brug for at tælle: På hvor mange måder kan vi vælge $k$ succeser blandt $n$ forsøg?

Svaret er binomialkoefficientenAntallet af måder at vælge k elementer ud af n, uden hensyn til rækkefølge. Skrives C(n,k) eller 'n over k'., som skrives:

\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}

hvor $n!$ (udtales ” $n$ fakultet”) er produktet af alle positive hele tal op til $n$ :

n! = n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \cdots 2 \cdot 1

Vi definerer desuden $0! = 1$ .

Vigtigt: Binomialkoefficienten $\binom{n}{k}$ angiver antallet af kombinationer – altså antallet af måder at vælge $k$ elementer ud af $n$ uden hensyn til rækkefølge.

Vis Eksempel: Beregning af binomialkoefficienter ⚡

Beregn $\binom{5}{2}$ :

\binom{5}{2} = \frac{5!}{2!(5-2)!} = \frac{5!}{2! \cdot 3!}

Vi udregner fakulteterne:

\begin{aligned} 5! &= 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 120 \\ 2! &= 2 \cdot 1 = 2 \\ 3! &= 3 \cdot 2 \cdot 1 = 6 \end{aligned}

Altså:

\binom{5}{2} = \frac{120}{2 \cdot 6} = \frac{120}{12} = 10

Der er altså 10 måder at vælge 2 elementer ud af 5.

Beregn $\binom{8}{3}$ :

\binom{8}{3} = \frac{8!}{3! \cdot 5!} = \frac{8 \cdot 7 \cdot 6}{3 \cdot 2 \cdot 1} = \frac{336}{6} = 56

Her brugte vi et smart trick: vi behøver kun at udregne de øverste faktorer, da resten forkortes med $5!$ i nævneren.

Teori: Sandsynlighedsfunktionen $P(X=k)$

Nu kan vi samle det hele! Sandsynligheden for at opnå præcis $k$ succeser i $n$ uafhængige Bernoulli-forsøg er:

P(X=k) = \binom{n}{k} \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}

Lad os forstå de tre faktorer:

Faktor	Betydning
$\binom{n}{k}$	Antal måder at placere $k$ succeser i $n$ forsøg
$p^k$	Sandsynlighed for $k$ succeser
$(1-p)^{n-k}$	Sandsynlighed for $(n-k)$ fiaskoer

Formlen giver altså: (antal gunstige rækkefølger) × (sandsynlighed for én bestemt rækkefølge).

For at beregne $P(X \leq k)$ (den kumulative sandsynlighed) summerer vi:

P(X \leq k) = \sum_{i=0}^{k} \binom{n}{i} \cdot p^i \cdot (1-p)^{n-i}

I praksis bruger vi tabeller eller CAS-værktøjer til dette.

Interaktiv Binomialfordeling

Juster antal forsøg n og succes-sandsynlighed p, og beregn sandsynligheden for et udvalgt interval.

Valgt område Middelværdi (μ)

Antal forsøg (n):20

Succes-sandsynlighed (p):30%

Sandsynlighedsberegner

Værdi k:

Resultat:

0.00 %

Middelværdi (μ = np): 6.00

Spredning (σ): 2.049

Vis Eksempel: Møntkast – beregning af P(X=k) ⚡

Opgave: Du kaster en fair mønt 6 gange. Hvad er sandsynligheden for at få præcis 4 plat?

Her er $n=6$ , $p=0{,}5$ (plat), og vi søger $P(X=4)$ .

Trin 1: Beregn binomialkoefficienten

\binom{6}{4} = \frac{6!}{4! \cdot 2!} = \frac{6 \cdot 5}{2 \cdot 1} = 15

Trin 2: Beregn sandsynlighedsfaktorerne

p^k = 0{,}5^4 = 0{,}0625

(1-p)^{n-k} = 0{,}5^{6-4} = 0{,}5^2 = 0{,}25

Trin 3: Gang det hele sammen

\begin{aligned} P(X=4) &= \binom{6}{4} \cdot 0{,}5^4 \cdot 0{,}5^2 \\ &= 15 \cdot 0{,}0625 \cdot 0{,}25 \\ &= 15 \cdot 0{,}015625 \\ &= 0{,}234375 \end{aligned}

Sandsynligheden for præcis 4 plat i 6 kast er ca. 23,4%.

Vis Eksempel: Multiple choice-gætteri ⚡

Opgave: En test har 10 spørgsmål med 4 svarmuligheder hver. Du gætter tilfældigt. Hvad er sandsynligheden for at ramme mindst 5 rigtige?

Her er $n=10$ , $p=0{,}25$ (tilfældigt gæt), og vi søger $P(X \geq 5)$ .

Vi bruger komplementet:

P(X \geq 5) = 1 - P(X \leq 4)

Vi beregner $P(X=k)$ for $k = 0, 1, 2, 3, 4$ :

\begin{aligned} P(X=0) &= \binom{10}{0} \cdot 0{,}25^0 \cdot 0{,}75^{10} = 1 \cdot 1 \cdot 0{,}0563 = 0{,}0563 \\ P(X=1) &= \binom{10}{1} \cdot 0{,}25^1 \cdot 0{,}75^{9} = 10 \cdot 0{,}25 \cdot 0{,}0751 = 0{,}1877 \\ P(X=2) &= \binom{10}{2} \cdot 0{,}25^2 \cdot 0{,}75^{8} = 45 \cdot 0{,}0625 \cdot 0{,}1001 = 0{,}2816 \\ P(X=3) &= \binom{10}{3} \cdot 0{,}25^3 \cdot 0{,}75^{7} = 120 \cdot 0{,}0156 \cdot 0{,}1335 = 0{,}2503 \\ P(X=4) &= \binom{10}{4} \cdot 0{,}25^4 \cdot 0{,}75^{6} = 210 \cdot 0{,}0039 \cdot 0{,}1780 = 0{,}1460 \end{aligned}

P(X \leq 4) = 0{,}0563 + 0{,}1877 + 0{,}2816 + 0{,}2503 + 0{,}1460 = 0{,}9219

P(X \geq 5) = 1 - 0{,}9219 = 0{,}0781

Sandsynligheden for at gætte mindst 5 rigtige er ca. 7,8%. Tilfældigt gætteri betaler sig altså sjældent! 😅

Teori: Middelværdi og varians

Når $X \sim b(n, p)$ , kan vi beregne fordelingsparametre med elegante formler:

Middelværdi (det forventede antal succeser):

\mu = E(X) = n \cdot p

Varians (et mål for spredningen):

\sigma^2 = \text{Var}(X) = n \cdot p \cdot (1-p)

Spredning (standardafvigelse):

\sigma = \sqrt{n \cdot p \cdot (1-p)}

Hvorfor disse formler giver mening:

Middelværdien $np$ er intuitiv – hvis du kaster en terning 60 gange og håber på 6’ere, forventer du $60 \cdot \frac{1}{6} = 10$ styk.

Variansen $np(1-p)$ er størst, når $p = 0{,}5$ (maks usikkerhed) og mindst, når $p$ er tæt på 0 eller 1 (resultatet er næsten sikkert).

Vis Eksempel: Middelværdi og varians i praksis ⚡

Opgave: En medicin helbreder 70% af patienterne. 20 patienter behandles. Bestem middelværdi, varians og spredning for antallet af helbredte.

Her er $X \sim b(20;\, 0{,}70)$ .

Middelværdi:

\mu = n \cdot p = 20 \cdot 0{,}70 = 14

Vi forventer altså, at 14 ud af 20 patienter helbredes.

Varians:

\sigma^2 = n \cdot p \cdot (1-p) = 20 \cdot 0{,}70 \cdot 0{,}30 = 4{,}2

Spredning:

\sigma = \sqrt{4{,}2} \approx 2{,}05

Det typiske antal helbredte ligger altså i intervallet $14 \pm 2 \cdot 2{,}05$ , dvs. mellem ca. 10 og 18 patienter.

Vis Bevis: Udledning af middelværdien

\mu = np

⚡

Vi kan se $X$ som en sum af $n$ uafhængige Bernoulli-variable $X_1, X_2, \ldots, X_n$ , hvor:

X_i = \begin{cases} 1 & \text{hvis forsøg } i \text{ er succes} \\ 0 & \text{hvis forsøg } i \text{ er fiasko} \end{cases}

Da er $X = X_1 + X_2 + \cdots + X_n$ .

For hver $X_i$ gælder:

E(X_i) = 1 \cdot p + 0 \cdot (1-p) = p

Ved lineariteten af forventningsværdien:

\begin{aligned} E(X) &= E(X_1 + X_2 + \cdots + X_n) \\ &= E(X_1) + E(X_2) + \cdots + E(X_n) \\ &= \underbrace{p + p + \cdots + p}_{n \text{ led}} \\ &= n \cdot p \end{aligned}

Tilsvarende kan variansen udledes ved brug af uafhængigheden:

\text{Var}(X) = \text{Var}(X_1) + \cdots + \text{Var}(X_n) = n \cdot p(1-p)

da $\text{Var}(X_i) = E(X_i^2) - (E(X_i))^2 = p - p^2 = p(1-p)$ .

Teori: Binomialtest

En binomialtestEn statistisk test, der afgør, om en observeret succesandsynlighed afviger signifikant fra en forventet værdi. bruges til at undersøge, om en observeret succesandsynlighed afviger signifikant fra en antaget (forventet) sandsynlighed $p_0$ .

Fremgangsmåde for en binomialtest:

1. Opstil hypoteser:

$H_0$ : $p = p_0$ (nulhypotesen – den værdi vi tester imod)
$H_1$ : $p \neq p_0$ (tosidet test) eller $p > p_0$ / $p < p_0$ (ensidet test)

2. Vælg signifikansniveau:

Typisk $\alpha = 0{,}05$ (5%)

3. Beregn teststørrelsen:

Observér antallet af succeser $k$ i $n$ forsøg.
Beregn $P(X \geq k)$ eller $P(X \leq k)$ under $H_0$ , dvs. med $X \sim b(n, p_0)$ .

4. Beslutningsregel:

Hvis $p\text{-værdi} \leq \alpha$ : Forkast $H_0$ – resultatet er statistisk signifikant.
Hvis $p\text{-værdi} > \alpha$ : Forkast ikke $H_0$ – der er ikke tilstrækkelig evidens.

$p$ -værdien er sandsynligheden for at observere et resultat mindst lige så ekstremt som det observerede, givet at $H_0$ er sand.

Vis Eksempel: Binomialtest – er terningen fair? ⚡

Opgave: Du kaster en terning 60 gange og observerer 18 seksere. Er terningen fair? (Brug $\alpha = 0{,}05$ )

Trin 1: Hypoteser

H_0: p = \frac{1}{6} \approx 0{,}1667 \quad \text{(fair terning)}

H_1: p > \frac{1}{6} \quad \text{(terningen favoriserer 6)}

Vi bruger en ensidet test, da vi mistænker for mange 6’ere.

Trin 2: Signifikansniveau

\alpha = 0{,}05

Trin 3: Under $H_0$ er $X \sim b(60;\, 0{,}1667)$

Forventet antal: $\mu = 60 \cdot \frac{1}{6} = 10$

Vi observerede $k = 18$ , som er langt over forventningen.

Vi beregner $p$ -værdien:

p\text{-værdi} = P(X \geq 18) = \sum_{i=18}^{60} \binom{60}{i} \cdot 0{,}1667^i \cdot 0{,}8333^{60-i}

Med CAS finder vi: $p\text{-værdi} \approx 0{,}0043$ .

Trin 4: Konklusion

p\text{-værdi} = 0{,}0043 < 0{,}05 = \alpha

Vi forkaster $H_0$ . Der er statistisk signifikant evidens for, at terningen ikke er fair – den giver for mange 6’ere. 🎲

Vis Eksempel: Binomialtest – virker medicinen? ⚡

Opgave: En medicin påstås at virke i 80% af tilfældene. I en undersøgelse af 25 patienter virker den kun på 16. Er der grund til at tvivle på påstanden? (Brug $\alpha = 0{,}05$ )

Trin 1: Hypoteser

H_0: p = 0{,}80 \quad \text{(medicinen virker som påstået)}

H_1: p < 0{,}80 \quad \text{(medicinen virker dårligere)}

Trin 2: $\alpha = 0{,}05$

Trin 3: Under $H_0$ er $X \sim b(25;\, 0{,}80)$

Forventet antal: $\mu = 25 \cdot 0{,}80 = 20$

Observeret: $k = 16$

p\text{-værdi} = P(X \leq 16) = \sum_{i=0}^{16} \binom{25}{i} \cdot 0{,}80^i \cdot 0{,}20^{25-i}

Med CAS finder vi: $p\text{-værdi} \approx 0{,}0468$ .

Trin 4: Konklusion

p\text{-værdi} = 0{,}0468 < 0{,}05 = \alpha

Vi forkaster $H_0$ . Der er statistisk signifikant evidens for, at medicinen virker dårligere end påstået. Dog er $p$ -værdien tæt på grænsen, så resultatet bør tolkes med forsigtighed.

🏋️ Træningsopgaver

Opgave 1: Grundlæggende beregning En skydespiller rammer målet med sandsynlighed $p = 0{,}40$ . Hun skyder 8 gange. Beregn sandsynligheden for, at hun rammer præcis 3 gange.

Opgave 2: Middelværdi og varians I en by er 15% af alle biler elbiler. En trafiktæller registrerer 40 tilfældige biler. Lad $X$ betegne antallet af elbiler.

a) Bestem middelværdi og spredning for $X$ .
b) Beregn $P(X = 6)$ .
c) Beregn $P(X \geq 10)$ med CAS.

Opgave 3: Kvalitetskontrol En fabrik producerer chips, og 5% er defekte. Et parti på 100 chips kontrolleres.

a) Beregn det forventede antal defekte chips.
b) Beregn sandsynligheden for, at der er højst 3 defekte chips.
c) Beregn sandsynligheden for, at der er mere end 8 defekte chips.

Opgave 4: Binomialtest En producent hævder, at 90% af deres batterier holder mindst 1000 timer. Du tester 30 batterier, og kun 24 holder. Udfør en binomialtest med $\alpha = 0{,}05$ . Opstil hypoteser, beregn $p$ -værdien, og drag en konklusion.

Opgave 5: Modelvalidering En terning kastes 120 gange, og man observerer følgende antal seksere: 28. Undersøg med en binomialtest om terningen er fair. Brug signifikansniveauet $\alpha = 0{,}01$ .

Quiz – Test din forståelse

Matematik Boss-Kamp ⚔️

Løs opgavesættet

Op til +50 XP

Hvad er middelværdien for en binomialfordelt stokastisk variabel X ~ b(20, 0.3)?