Mundtlige Eksamensbeviser – Matematik B

Eksamensbeviserne på B-niveau danner broen mellem elementær algebra og infinitesimalregningen. Herunder gennemgås to centrale beviser, formuleret med den stringens, du finder i en universitetslærebog.

Bevis 1: To-punkts-formlen for en eksponentiel funktion

Dette bevis udleder konstanterne $a$ (fremskrivningsfaktoren) og $b$ (begyndelsesværdien) for en eksponentiel udvikling.

Tilknyttet emne i pensum: Eksponentiel & Potens

Sætning (To-punkts-formlen for eksponentiel vækst)

Lad $f(x) = b \cdot a^x$ være en eksponentiel funktion, hvor $a > 0$ og $b > 0$ . Lad $(x_1, y_1)$ og $(x_2, y_2)$ være to punkter på grafen for $f$ , med $x_2 > x_1$ og $y_1, y_2 > 0$ . Da gælder for konstanterne $a$ og $b$ : $a = \sqrt[x_2 - x_1]{\frac{y_2}{y_1}} = \left(\frac{y_2}{y_1}\right)^{\frac{1}{x_2 - x_1}} \quad \text{og} \quad b = \frac{y_1}{a^{x_1}}$

Bevismetode: Direkte bevis (Algebraisk udledning)

Da punkterne ligger på grafen for $f$ , er følgende ligningssystem gældende:

$y_1 = b \cdot a^{x_1}$
$y_2 = b \cdot a^{x_2}$

Vi dividerer ligning (2) med ligning (1) for at eliminere proportionalitetskonstanten $b$ :

\begin{aligned} \frac{y_2}{y_1} &= \frac{b \cdot a^{x_2}}{b \cdot a^{x_1}} \quad &&\text{[Division af ligning (2) med (1)]} \\ &= \frac{a^{x_2}}{a^{x_1}} \quad &&\text{[Da } b > 0\text{, kan vi forkorte med } b\text{]} \\ &= a^{x_2 - x_1} \quad &&\text{[Anvend potensregneregel } \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}\text{]} \end{aligned}

Da $x_2 > x_1$ , er potenseksponenten $x_2 - x_1 > 0$ . Vi isolerer $a$ ved at tage den $(x_2 - x_1)$ -te rod på begge sider:

$a = \sqrt[x_2 - x_1]{\frac{y_2}{y_1}} = \left(\frac{y_2}{y_1}\right)^{\frac{1}{x_2 - x_1}}$

Dette beviser formlen for $a$ .

Begyndelsesværdien $b$ findes ved at isolere direkte i ligning (1):

$y_1 = b \cdot a^{x_1} \implies b = \frac{y_1}{a^{x_1}}$

Hvilket beviser formlen for $b$ .

Q.E.D. ∎

Bevis 2: Tangenthældningen for $f(x) = x^2$ via Tretrinsreglen

Dette bevis udleder differentialkvotienten for en af de mest basale ikke-lineære funktioner.

Tilknyttet emne i pensum: Tretrinsreglen

Sætning (Differentialkvotienten for

x^2

)

Funktionen $f(x) = x^2$ er differentiabel i ethvert punkt $x_0 \in \mathbb{R}$ med differentialkvotienten: $f'(x_0) = 2x_0$

Bevismetode: Tretrinsreglen (Differenskvotientens grænseværdi)

Vi undersøger grænseværdien for differenskvotienten, når $h \to 0$ :

$f'(x_0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h}$

Vi gennemfører udledningen i tre trin:

Trin 1: Bestem funktionstilvæksten $\Delta y$ Vi opskriver y-tilvæksten og reducerer udtrykket:

\begin{aligned} \Delta y &= f(x_0 + h) - f(x_0) \\ &= (x_0 + h)^2 - x_0^2 \quad &&\text{[Anvend } f(x) = x^2\text{]} \\ &= x_0^2 + 2x_0h + h^2 - x_0^2 \quad &&\text{[Udvid parentes vha. 1. kvadratsætning]} \\ &= 2x_0h + h^2 \quad &&\text{[Reducer leddene]} \end{aligned}

Trin 2: Opskriv og reducer differenskvotienten $\frac{\Delta y}{h}$ Sekanthældningen opskrives for en tilvækst $h \neq 0$ :

\begin{aligned} \frac{\Delta y}{h} &= \frac{2x_0h + h^2}{h} \\ &= \frac{h(2x_0 + h)}{h} \quad &&\text{[Faktoriser } h\text{ uden for parentes i tælleren]} \\ &= 2x_0 + h \quad &&\text{[Forkort med } h \neq 0\text{]} \end{aligned}

Trin 3: Bestem grænseværdien for $h \to 0$ Vi finder grænseværdien for sekanthældningen, hvilket giver tangenthældningen $f'(x_0)$ :

f'(x_0) = \lim_{h \to 0} (2x_0 + h) = 2x_0

Hermed er det formelt bevist, at $(x^2)' = 2x$ .

Q.E.D. ∎

Mundtlige Eksamensbeviser – Matematik B

Bevis 1: To-punkts-formlen for en eksponentiel funktion

Bevis 2: Tangenthældningen for f(x)=x2f(x) = x^2f(x)=x2 via Tretrinsreglen

Bevis 2: Tangenthældningen for $f(x) = x^2$ via Tretrinsreglen