Pythagoras’ sætning 🎯

For over 2500 år siden opdagede den græske matematiker Pythagoras en sammenhæng, der har forandret matematikken for evigt. Det er en af de mest berømte sætninger i hele matematikken — og den er stadig lige så nyttig i dag, som den var dengang. Klar til at besejre denne boss? ⚔️

Teori: Pythagoras’ sætning

I en retvinklet trekantEn trekant med en ret vinkel (90°). Den længste side (over for den rette vinkel) kaldes hypotenusen. med kateter $a$ og $b$ samt hypotenuse $c$ gælder:

a^2 + b^2 = c^2

Her er:

$a$ og $b$ de to kateterDe to sider i en retvinklet trekant, der støder op til den rette vinkel. (siderne ved den rette vinkel)
$c$ er hypotenusenDen længste side i en retvinklet trekant — siden over for den rette vinkel. (den længste side, over for den rette vinkel)

Sagt med ord: Summen af kateternes kvadrater er lig hypotenusens kvadrat.

Man kan også omskrive formlen til at finde en katete, hvis man kender hypotenusen og den anden katete:

a = \sqrt{c^2 - b^2}, \quad b = \sqrt{c^2 - a^2}

Og selvfølgelig til at finde hypotenusen:

c = \sqrt{a^2 + b^2}

Interaktiv Visualisering: Pythagoras' Sætning

Træk i skyderne for at ændre kateterne $a$ og $b$. Se hvordan arealet af de to mindre kvadrater ($a^2 + b^2$) altid er lig med arealet af det store kvadrat ($c^2$).

Katete a8.0

Katete b6.0

Arealberegning & Sum

Katetekvadrat a²:64.00

Katetekvadrat b²:36.00

a² + b² =100.00

Hypotenusekvadrat c²:100.00

Bevis ved arealer:Uanset hvordan du ændrer sidelængderne, vil summen af de to mindre arealer ($a^2 + b^2$) altid passe præcis med arealet af det store kvadrat ($c^2$). Dette er kernen i Pythagoras' sætning!

Vis Bevis: Geometrisk bevis for Pythagoras’ sætning 🧠

[!NOTE] Til den mundtlige eksamen kan du med fordel anvende vores formelle, trinvise skabelon til beviset: Pythagoras’ Sætning (C) Bevis.

Der findes over 400 forskellige beviser for Pythagoras’ sætning! Her præsenterer vi det klassiske geometriske bevis med to kvadrater.

Bevisidé: Vi konstruerer et stort kvadrat med sidelængde $(a + b)$ på to forskellige måder.

Metode 1: Vi lægger fire kopier af den retvinklede trekant (med kateter $a$ og $b$ ) inde i det store kvadrat, så de danner et indre kvadrat med sidelængde $c$ .

Arealet af det store kvadrat er:

(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2

Arealet kan også beregnes som summen af de fire trekanter plus det indre kvadrat:

4 \cdot \frac{1}{2}ab + c^2 = 2ab + c^2

Metode 2: Vi sætter de to udtryk lig hinanden:

\begin{aligned} a^2 + 2ab + b^2 &= 2ab + c^2 \\ \overset{\text{fratræk } 2ab}{\implies} a^2 + b^2 &= c^2 \quad \blacksquare \end{aligned}

Elegant, ikke? To simple areal-beregninger giver os et af matematikkens mest berømte resultater.

Vis Eksempel: Find hypotenusen ⚡

Opgave: En retvinklet trekant har kateter $a = 3$ og $b = 4$ . Find hypotenusen $c$ .

Løsning:

Vi bruger Pythagoras’ sætning:

\begin{aligned} c^2 &= a^2 + b^2 \\ &= 3^2 + 4^2 \\ &= 9 + 16 \\ &= 25 \end{aligned}

Vi tager kvadratroden:

c = \sqrt{25} = 5

Svar: Hypotenusen er $c = 5$ .

Tallene $(3, 4, 5)$ er et eksempel på en pytagoræisk tripelEt sæt af tre positive heltal, der opfylder Pythagoras' sætning, fx (3, 4, 5) og (5, 12, 13). — tre heltal der opfylder Pythagoras’ sætning.

Vis Eksempel: Find en katete ⚡

Opgave: En retvinklet trekant har hypotenusen $c = 13$ og den ene katete $a = 5$ . Find den anden katete $b$ .

Løsning:

Vi isolerer $b$ i Pythagoras’ sætning:

\begin{aligned} a^2 + b^2 &= c^2 \\ b^2 &= c^2 - a^2 \\ &= 13^2 - 5^2 \\ &= 169 - 25 \\ &= 144 \end{aligned}

Vi tager kvadratroden:

b = \sqrt{144} = 12

Svar: Den manglende katete er $b = 12$ .

$(5, 12, 13)$ er endnu en pytagoræisk tripel!

Teori: Den omvendte Pythagoras

Pythagoras’ sætning virker også “den anden vej”: Vi kan bruge den til at afgøre om en trekant er retvinklet.

Givet en trekant med sidelængder $a$ , $b$ og $c$ (hvor $c$ er den længste side):

Hvis $a^2 + b^2 = c^2$ : trekanten er retvinklet (ret vinkel over for $c$ )
Hvis $a^2 + b^2 > c^2$ : trekanten er spidsvinklet (alle vinkler er under $90°$ )
Hvis $a^2 + b^2 < c^2$ : trekanten er stumpvinklet (én vinkel er over $90°$ )

Denne udvidelse giver os et kraftfuldt værktøj til at klassificere trekanter alene ud fra deres sidelængder.

Vis Eksempel: Er trekanten retvinklet? ⚡

Opgave: En trekant har sidelængderne $7$ , $24$ og $25$ . Er den retvinklet?

Løsning:

Den længste side er $c = 25$ . Vi tjekker om $a^2 + b^2 = c^2$ :

\begin{aligned} a^2 + b^2 &= 7^2 + 24^2 \\ &= 49 + 576 \\ &= 625 \end{aligned}

c^2 = 25^2 = 625

Da $a^2 + b^2 = c^2$ , altså $625 = 625$ , er trekanten retvinklet. ✓

Den rette vinkel er over for den længste side (over for siden med længde 25).

Vis Eksempel: Klassificér trekanten ⚡

Opgave: Bestem om en trekant med sidelængderne $5$ , $6$ og $9$ er spidsvinklet, retvinklet eller stumpvinklet.

Løsning:

Den længste side er $c = 9$ . Vi sammenligner $a^2 + b^2$ med $c^2$ :

a^2 + b^2 = 5^2 + 6^2 = 25 + 36 = 61

c^2 = 9^2 = 81

Da $a^2 + b^2 < c^2$ (nemlig $61 < 81$ ), er trekanten stumpvinklet.

Den stumpe vinkel sidder over for den længste side.

Teori: Pythagoras i koordinatsystemet — Afstandsformlen

Pythagoras’ sætning giver os en formel til at beregne afstandenDen rette linje-afstand mellem to punkter i koordinatsystemet. mellem to punkter $P_1(x_1, y_1)$ og $P_2(x_2, y_2)$ i et koordinatsystem:

d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}

Hvorfor virker det?

Tænk på det horisontale stykke $|x_2 - x_1|$ som den ene katete og det vertikale stykke $|y_2 - y_1|$ som den anden katete. Afstanden $d$ er hypotenusen i den retvinklede trekant, der dannes.

d^2 = \underbrace{(x_2 - x_1)^2}_{\text{vandret}} + \underbrace{(y_2 - y_1)^2}_{\text{lodret}}

Vis Eksempel: Afstand mellem to punkter ⚡

Opgave: Find afstanden mellem punkterne $A(1, 2)$ og $B(4, 6)$ .

Løsning:

Vi bruger afstandsformlen med $x_1 = 1$ , $y_1 = 2$ , $x_2 = 4$ , $y_2 = 6$ :

\begin{aligned} d &= \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \\ &= \sqrt{(4 - 1)^2 + (6 - 2)^2} \\ &= \sqrt{3^2 + 4^2} \\ &= \sqrt{9 + 16} \\ &= \sqrt{25} \\ &= 5 \end{aligned}

Svar: Afstanden mellem $A$ og $B$ er $5$ .

Bemærk: Vi genkender tripletn $(3, 4, 5)$ igen!

Vis Eksempel: Diagonal i et rektangel ⚡

Opgave: Et rektangel har sidelængderne $8$ cm og $6$ cm. Find længden af diagonalen.

Løsning:

Diagonalen deler rektanglet i to retvinklede trekanter, hvor sidelængderne er kateterne og diagonalen er hypotenusen.

\begin{aligned} d^2 &= 8^2 + 6^2 \\ &= 64 + 36 \\ &= 100 \end{aligned}

d = \sqrt{100} = 10 \text{ cm}

Svar: Diagonalen er $10$ cm lang.

Vis Eksempel: Stige mod en mur ⚡

Opgave: En $5$ m lang stige læner op ad en mur. Stigen rører muren $4$ m over jorden. Hvor langt fra muren står stigens fod?

Løsning:

Stigen, muren og jorden danner en retvinklet trekant. Stigen er hypotenusen ( $c = 5$ ), muren er den ene katete ( $a = 4$ ), og afstanden fra muren er den anden katete ( $b$ ).

\begin{aligned} b^2 &= c^2 - a^2 \\ &= 5^2 - 4^2 \\ &= 25 - 16 \\ &= 9 \end{aligned}

b = \sqrt{9} = 3 \text{ m}

Svar: Stigens fod står $3$ m fra muren.

🏋️ Træningsopgaver

Opgave 1: En retvinklet trekant har kateter $a = 6$ og $b = 8$ . Find hypotenusen $c$ .

Opgave 2: En retvinklet trekant har hypotenusen $c = 17$ og den ene katete $a = 8$ . Find den anden katete $b$ .

Opgave 3: Afgør om en trekant med sidelængderne $8$ , $15$ og $17$ er retvinklet. Begrund dit svar.

Opgave 4: Afgør om en trekant med sidelængderne $4$ , $5$ og $7$ er spidsvinklet, retvinklet eller stumpvinklet.

Opgave 5: Find afstanden mellem punkterne $P(2, 3)$ og $Q(7, 15)$ .

Opgave 6: Et kvadratisk rum har sidelængden $4$ m. Hvor lang er diagonalen?

Opgave 7: En kasse er $3$ m lang, $4$ m bred og $12$ m høj. Find afstanden fra et hjørne i bunden til det diagonalt modsatte hjørne i toppen. (Hint: Brug Pythagoras to gange!)

Quiz – Test din forståelse

Matematik Boss-Kamp ⚔️

Løs opgavesættet

Op til +50 XP

En retvinklet trekant har kateterne a = 5 og b = 12. Hvad er hypotenusen c?