Sinus, cosinus og tangens 🎯

Trigonometri — læren om trekanters vinkler og sider — er et af matematikkens mest anvendte værktøjer. Fra GPS-navigation to computergrafik, fra arkitektur to astronomi: trigonometrien er overalt. I dette kapitel lærer du de tre grundlæggende trigonometriske funktioner, og du får et nyt, mægtigt våben i dit matematik-arsenal! 💪

Teori: Definitioner i den retvinklede trekant

I en retvinklet trekant definerer vi tre trigonometriske funktionerFunktioner der beskriver forholdet mellem vinkler og sidelængder i en trekant: sinus, cosinus og tangens. ud fra en spids vinkel $v$ :

\sin(v) = \frac{\text{modstående katete}}{\text{hypotenuse}}, \quad \cos(v) = \frac{\text{hosliggende katete}}{\text{hypotenuse}}, \quad \tan(v) = \frac{\text{modstående katete}}{\text{hosliggende katete}}

Huskeregel: “SoH-CaH-ToA”

Sinus = overstående / Hypotenuse
Cosinus = adjacent (hosliggende) / Hypotenuse
Tangens = overstående / Adjacent (hosliggende)

Lad os kalde den modstående katete $a$ , den hosliggende katete $b$ , og hypotenusen $c$ :

\sin(v) = \frac{a}{c}, \quad \cos(v) = \frac{b}{c}, \quad \tan(v) = \frac{a}{b}

Vigtige værdier at kende:

$v$	$\sin(v)$	$\cos(v)$	$\tan(v)$
$0°$	$0$	$1$	$0$
$30°$	$\frac{1}{2}$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{1}{\sqrt{3}}$
$45°$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$1$
$60°$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{1}{2}$	$\sqrt{3}$
$90°$	$1$	$0$	udef.

Teori: Enhedscirklen

EnhedscirklenEn cirkel med centrum i origo (0, 0) og radius 1. Bruges til at udvide trigonometriske funktioner til alle vinkler. er en cirkel med centrum i origo og radius $1$ . Den giver os en elegant måde at definere sinus og cosinus for alle vinkler — ikke kun spidse vinkler.

For en vinkel $v$ (målt mod uret fra den positive $x$ -akse) bestemmer vi et punkt $P$ på enhedscirklen. Koordinaterne til $P$ er:

P = (\cos(v), \sin(v))

Det vil sige:

$\cos(v)$ er $x$ -koordinaten til punktet på enhedscirklen
$\sin(v)$ er $y$ -koordinaten til punktet på enhedscirklen

Fortegnsregler i de fire kvadranter:

Kvadrant	Vinkelinterval	$\sin(v)$	$\cos(v)$
I	$0° < v < 90°$	$+$	$+$
II	$90° < v < 180°$	$+$	$-$
III	$180° < v < 270°$	$-$	$-$
IV	$270° < v < 360°$	$-$	$+$

I enhedscirklen kan vi også se tangens som:

\tan(v) = \frac{\sin(v)}{\cos(v)}

Denne definition virker for alle vinkler, hvor $\cos(v) \neq 0$ .

Interaktiv Visualisering: Enhedscirklen

Træk direkte i punktet på cirklen eller brug skyderen til at se, hvordan $\cos(\theta)$, $\sin(\theta)$ og $\tan(\theta)$ defineres.

Vinkel θ = 0°θ = 45°θ = 360°

Trigonometriske Værdier

Cosinus: cos(45°)0.7071

Sinus: sin(45°)0.7071

Tangent: tan(45°)1.0000

Definitionsforhold:- **Cosinus** er x-koordinaten til retningspunktet P. - **Sinus** er y-koordinaten til retningspunktet P. - **Tangent** er y-værdien, hvor radiusvektorens forlængelse skærer linjen x = 1 (tangenten til cirklen i (1,0)).

Teori: Grundrelationen $\sin^2(v) + \cos^2(v) = 1$

Den vigtigste identitet i trigonometrien er grundrelationenSammenhængen sin²(v) + cos²(v) = 1, som gælder for alle vinkler v.:

\sin^2(v) + \cos^2(v) = 1

Bevis via enhedscirklen:

Punktet $P = (\cos(v), \sin(v))$ ligger på enhedscirklen med radius $1$ . Cirklens ligning er $x^2 + y^2 = 1$ . Da $x = \cos(v)$ og $y = \sin(v)$ :

\cos^2(v) + \sin^2(v) = 1 \quad \blacksquare

Bevis via Pythagoras:

I en retvinklet trekant med hypotenuse $c$ , modstående katete $a$ og hosliggende katete $b$ gælder $a^2 + b^2 = c^2$ . Vi dividerer begge sider med $c^2$ :

\frac{a^2}{c^2} + \frac{b^2}{c^2} = 1 \implies \left(\frac{a}{c}\right)^2 + \left(\frac{b}{c}\right)^2 = 1 \implies \sin^2(v) + \cos^2(v) = 1 \quad \blacksquare

Nyttige omskrivninger:

\sin^2(v) = 1 - \cos^2(v), \quad \cos^2(v) = 1 - \sin^2(v)

Vis Eksempel: Find en side med sinus ⚡

Opgave: I en retvinklet trekant er hypotenusen $c = 10$ og vinklen $v = 30°$ . Find den modstående katete $a$ .

Løsning:

Vi bruger definitionen af sinus:

\sin(v) = \frac{a}{c}

Vi isolerer $a$ :

\begin{aligned} a &= c \cdot \sin(v) \\ &= 10 \cdot \sin(30°) \\ &= 10 \cdot 0{,}5 \\ &= 5 \end{aligned}

Svar: Den modstående katete er $a = 5$ .

Vis Eksempel: Find en side med cosinus ⚡

Opgave: I en retvinklet trekant er hypotenusen $c = 20$ og vinklen $v = 60°$ . Find den hosliggende katete $b$ .

Løsning:

Vi bruger definitionen af cosinus:

\cos(v) = \frac{b}{c}

Vi isolerer $b$ :

\begin{aligned} b &= c \cdot \cos(v) \\ &= 20 \cdot \cos(60°) \\ &= 20 \cdot 0{,}5 \\ &= 10 \end{aligned}

Svar: Den hosliggende katete er $b = 10$ .

Vis Eksempel: Find en vinkel med tangens ⚡

Opgave: I en retvinklet trekant er den modstående katete $a = 7$ og den hosliggende katete $b = 7$ . Find vinklen $v$ .

Løsning:

Vi bruger tangens:

\tan(v) = \frac{a}{b} = \frac{7}{7} = 1

Vi finder vinklen med den inverse tangens-funktion:

v = \tan^{-1}(1) = 45°

Svar: Vinklen er $v = 45°$ .

Det giver god mening — når begge kateter er lige lange, er trekanten en ligebenet retvinklet trekant med to $45°$ -vinkler.

Vis Eksempel: Find hypotenusen når du kender en katete og en vinkel ⚡

Opgave: I en retvinklet trekant er den ene katete $a = 12$ (modstående til vinklen $v$ ), og $v = 37°$ . Find hypotenusen $c$ .

Løsning:

Vi bruger sinus:

\sin(v) = \frac{a}{c} \implies c = \frac{a}{\sin(v)}

Vi indsætter:

\begin{aligned} c &= \frac{12}{\sin(37°)} \\ &= \frac{12}{0{,}6018} \\ &\approx 19{,}94 \end{aligned}

Svar: Hypotenusen er $c \approx 19{,}9$ .

Vis Eksempel: Brug grundrelationen ⚡

Opgave: Givet at $\sin(v) = \frac{3}{5}$ og $v$ er en spids vinkel. Find $\cos(v)$ og $\tan(v)$ .

Løsning:

Vi bruger grundrelationen $\sin^2(v) + \cos^2(v) = 1$ :

\begin{aligned} \cos^2(v) &= 1 - \sin^2(v) \\ &= 1 - \left(\frac{3}{5}\right)^2 \\ &= 1 - \frac{9}{25} \\ &= \frac{25 - 9}{25} \\ &= \frac{16}{25} \end{aligned}

Da $v$ er en spids vinkel, er $\cos(v) > 0$ :

\cos(v) = \sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{4}{5}

Nu finder vi tangens:

\tan(v) = \frac{\sin(v)}{\cos(v)} = \frac{3/5}{4/5} = \frac{3}{4}

Svar: $\cos(v) = \frac{4}{5}$ og $\tan(v) = \frac{3}{4}$ .

Bemærk: Vi genkender den pytagoræiske tripel $(3, 4, 5)$ !

Vis Eksempel: Praktisk anvendelse — højde på et tårn ⚡

Opgave: Fra et punkt $50$ m fra foden af et tårn måler man en elevationsvinkelVinklen op fra vandret til en synslinje, der peger opad. på $35°$ til toppen af tårnet. Hvor højt er tårnet?

Løsning:

Vi har en retvinklet trekant, hvor:

Den hosliggende katete (afstanden) er $b = 50$ m
Den modstående katete (tårnets højde) er $a$ (ubekendt)
Vinklen er $v = 35°$

Vi bruger tangens:

\tan(35°) = \frac{a}{50}

Vi isolerer $a$ :

\begin{aligned} a &= 50 \cdot \tan(35°) \\ &= 50 \cdot 0{,}7002 \\ &\approx 35{,}0 \end{aligned}

Svar: Tårnet er ca. $35{,}0$ m højt.

🏋️ Træningsopgaver

Opgave 1: I en retvinklet trekant er hypotenusen $c = 15$ og vinklen $v = 42°$ . Find den modstående katete $a$ og den hosliggende katete $b$ .

Opgave 2: I en retvinklet trekant er kateterne $a = 8$ og $b = 6$ . Find alle tre vinkler i trekanten. (Hint: Brug $\tan^{-1}$ )

Opgave 3: Givet at $\cos(v) = \frac{5}{13}$ og $v$ er spids. Find $\sin(v)$ og $\tan(v)$ .

Opgave 4: Fra toppen af en $40$ m høj bygning ser man ned mod et punkt på jorden med en depressionsvinkel på $25°$ . Hvor langt fra bygningens fod er punktet?

Opgave 5: Et punkt $P$ på enhedscirklen har vinklen $v = 150°$ . Bestem $\cos(150°)$ og $\sin(150°)$ uden lommeregner. (Hint: Brug symmetri med $30°$ -vinklen)

Opgave 6: Vis, at $\tan(v) = \frac{\sin(v)}{\cos(v)}$ ved hjælp af definitionerne i den retvinklede trekant.

Quiz – Test din forståelse

Matematik Boss-Kamp ⚔️

Løs opgavesættet

Op til +50 XP

I en retvinklet trekant med hypotenuse c og vinkel v, hvad er sin(v)?

Sinus, cosinus og tangens 🎯

Teori: Definitioner i den retvinklede trekant

Teori: Enhedscirklen

Interaktiv Visualisering: Enhedscirklen

Trigonometriske Værdier

Teori: Grundrelationen sin⁡2(v)+cos⁡2(v)=1\sin^2(v) + \cos^2(v) = 1sin2(v)+cos2(v)=1

🏋️ Træningsopgaver

Quiz – Test din forståelse

Løs opgavesættet

Teori: Grundrelationen $\sin^2(v) + \cos^2(v) = 1$