Logistisk vækst 🎯

Eksponentiel vækst er elegant, men urealistisk i den virkelige verden. Ingen bakteriekoloni kan vokse uendeligt — på et tidspunkt løber den tør for næring, plads eller ilt. Ingen epidemi kan sprede sig uendeligt — til sidst er der ingen raske mennesker tilbage at smitte. Virkeligheden bremser væksten.

Den logistiske modelEn vækstmodel, der inkorporerer en øvre grænse (bæreevne). Væksten er hurtigst i midten og bremser, når populationen nærmer sig bæreevnen. fanger præcis dette: vækst der starter eksponentielt, men gradvist bremses og stabiliserer sig omkring en øvre grænse. Det er den model, der bruges til alt fra populationsdynamik til spredning af teknologier og sygdomme.

Mestr den logistiske kurve og optjen +150 XP!

Teori: Hvorfor eksponentiel vækst ikke er nok

Betragt den eksponentielle model $y' = ky$ . Her er vækstraten $\frac{y'}{y} = k$ konstant — uanset hvor stor populationen bliver. Det giver absurde resultater:

En bakteriekoloni med 1000 bakterier, der fordobles hver time, ville efter 24 timer have $1000 \cdot 2^{24} \approx 16{,}8$ milliarder bakterier
Efter 48 timer ville den veje mere end Jorden!

Problemet er tydeligt: modellen mangler en bremse. I naturen sker der nemlig det, at:

Ressourcerne er begrænsede (mad, plads, ilt)
Konkurrencen intensiveres, når populationen vokser
Sygdomme spredes lettere i tætte populationer
Rovdyr regulerer byttedyrpopulationer

Vi har brug for en model, hvor vækstraten aftager, når $y$ nærmer sig en øvre grænse.

Teori: Den logistiske differentialligning

Den logistiske differentialligningDifferentialligningen dy/dt = k·y·(M-y)/M, som beskriver begrænset vækst med bæreevne M. er:

$\boxed{\frac{dy}{dt} = k \cdot y \cdot \frac{M - y}{M}}$

Her er:

$y(t)$ — populationens størrelse ved tid $t$
$k$ — den initiale vækstkonstant (vækstraten, når $y$ er lille)
$M$ — bæreevnenDen maksimale bæredygtige populationsstørrelse i et givet miljø. Også kaldet den øvre grænse. (carrying capacity) — den øvre grænse

Hvad sker der matematisk?

Lad os analysere faktoren $\frac{M - y}{M}$ :

Situation	Værdien af $\frac{M-y}{M}$	Effekt på vækst
$y \ll M$ (populationen er lille)	$\approx 1$	Væksten er $\approx ky$ — næsten eksponentiel!
$y = \frac{M}{2}$ (halvdelen af bæreevnen)	$= \frac{1}{2}$	Væksten er halveret
$y$ nærmer sig $M$	$\to 0$	Væksten bremser drastisk
$y = M$	$= 0$	Væksten standser helt — ligevægt!
$y > M$	$< 0$	Populationen aftager mod $M$

Faktoren $\frac{M - y}{M}$ fungerer som en automatisk bremse: den dæmper væksten proportionalt med, hvor tæt $y$ er på $M$ .

Vis Eksempel: Fortolkning af den logistiske ligning ⚡

Opgave: En fiskepopulation i en sø beskrives af den logistiske ligning:

$\frac{dy}{dt} = 0{,}4 \cdot y \cdot \frac{5000 - y}{5000}$

med $y(0) = 200$ . Fortolk parametrene og beregn den initiale vækstrate.

Løsning:

Aflæsning af parametre:

$k = 0{,}4$ — den initiale vækstkonstant
$M = 5000$ — bæreevnen (søen kan maksimalt understøtte 5000 fisk)
$y_0 = 200$ — startpopulationen

Beregning af initial vækstrate:

Ved $t = 0$ :

\begin{aligned} y'(0) &= 0{,}4 \cdot 200 \cdot \frac{5000 - 200}{5000} \\ &= 80 \cdot \frac{4800}{5000} \\ &= 80 \cdot 0{,}96 \\ &= 76{,}8 \text{ fisk pr. tidsenhed} \end{aligned}

Sammenlign med den rene eksponentielle vækst: $y'(0) = 0{,}4 \cdot 200 = 80$ .

Bremsefaktoren reducerer kun væksten med 4%, fordi populationen er langt fra bæreevnen. Men når populationen når 4000:

\begin{aligned} y'|_{y=4000} &= 0{,}4 \cdot 4000 \cdot \frac{5000 - 4000}{5000} \\ &= 1600 \cdot 0{,}2 \\ &= 320 \end{aligned}

Og ved $y = 4900$ :

$y' = 0{,}4 \cdot 4900 \cdot \frac{100}{5000} = 1960 \cdot 0{,}02 = 39{,}2$

Bremsen slår markant til! ✅

Teori: Løsningsformlen for den logistiske ligning

Den logistiske differentialligning $\frac{dy}{dt} = k \cdot y \cdot \frac{M - y}{M}$ har løsningen:

$\boxed{y(t) = \frac{M}{1 + c \cdot e^{-kt}}}$

hvor konstanten $c$ bestemmes af begyndelsesbetingelsen $y(0) = y_0$ :

\begin{aligned} y(0) &= \frac{M}{1 + c \cdot e^0} = \frac{M}{1 + c} = y_0 \\ 1 + c &= \frac{M}{y_0} \\ c &= \frac{M}{y_0} - 1 = \frac{M - y_0}{y_0} \end{aligned}

Altså:

$\boxed{c = \frac{M - y_0}{y_0}}$

Egenskaber ved løsningen:

Når $t \to \infty$ : $e^{-kt} \to 0$ , så $y \to \frac{M}{1 + 0} = M$ (populationen nærmer sig bæreevnen)
Når $t \to -\infty$ (og $k > 0$ ): $e^{-kt} \to \infty$ , så $y \to 0$
Kurven er monotont voksende (for $0 < y_0 < M$ )
Kurven har en karakteristisk S-form (sigmoid kurve)

Interaktiv Model

Logistisk Vækst & S-kurve

Undersøg bæreevne (M), væksthastighed (k) og begyndelsesværdi (y₀). Træk i scrubberen under grafen for at aflæse væksthastigheden over tid.

Undersøg tidspunkt (t):3.0

Model Parametre

Bæreevne (M):100

Vækstrate (k):0.60

Begyndelsesværdi (y₀):10

Vis underliggende retningsfelt (hældninger)

Aflæsninger (t = 3.0)

Population (y)40.2

Hældning (y')14.42

Beregning af y':

dy/dt = k · y · (M - y)/M

dy/dt = 0.60 · 40.2 · (100 - 40.2)/100

dy/dt = 14.424

Da y₀ (10) < M/2 (50), har vi en fuld S-form. Væksten stiger indtil vendepunktet ved y = 50 (ved t = 3.66), hvorefter den aftager mod bæreevnen.

Vis Bevis: Løsning ved separation ⚡

Bevis: Vi løser $\frac{dy}{dt} = k \cdot y \cdot \frac{M - y}{M}$ ved separation.

Trin 1 — Adskil variablene:

$\frac{M}{y(M - y)} \, dy = k \, dt$

Trin 2 — Partialbrøkopspaltning:

Vi opspalter $\frac{M}{y(M - y)}$ :

$\frac{M}{y(M - y)} = \frac{A}{y} + \frac{B}{M - y}$

Gang med $y(M-y)$ :

$M = A(M-y) + By$

Sæt $y = 0$ : $M = AM$ , dvs. $A = 1$ .

Sæt $y = M$ : $M = BM$ , dvs. $B = 1$ .

Altså:

$\frac{M}{y(M - y)} = \frac{1}{y} + \frac{1}{M - y}$

Trin 3 — Integrer:

\begin{aligned} \int \left(\frac{1}{y} + \frac{1}{M - y}\right) dy &= \int k \, dt \\ \ln|y| - \ln|M - y| &= kt + C_1 \\ \ln\left|\frac{y}{M - y}\right| &= kt + C_1 \end{aligned}

Trin 4 — Isoler $y$ :

\begin{aligned} \frac{y}{M - y} &= Ae^{kt} \quad (A = \pm e^{C_1}) \\ y &= (M - y) \cdot Ae^{kt} \\ y &= MAe^{kt} - yAe^{kt} \\ y + yAe^{kt} &= MAe^{kt} \\ y(1 + Ae^{kt}) &= MAe^{kt} \\ y &= \frac{MAe^{kt}}{1 + Ae^{kt}} \end{aligned}

Divider tæller og nævner med $Ae^{kt}$ :

$y = \frac{M}{1 + \frac{1}{A}e^{-kt}} = \frac{M}{1 + ce^{-kt}}$

hvor $c = \frac{1}{A}$ . ✅

Teori: S-kurven og vendepunktet

Den logistiske kurve har en karakteristisk S-formDen S-formede kurve, der kendetegner logistisk vækst. Kurven har et vendepunkt præcis ved y = M/2. (også kaldet en sigmoid kurve). Den har tre faser:

Fase 1 — Langsom start ( $y \ll M$ ): Væksten er næsten eksponentiel, men populationen er stadig lille, så de absolutte ændringer er små.

Fase 2 — Hurtig vækst ( $y$ nærmer sig $M/2$ ): Populationen er stor nok til at vokse hurtigt, men bremsen har endnu ikke slået til for alvor.

Fase 3 — Aftagende vækst ( $y$ nærmer sig $M$ ): Bremsen dominerer, og væksten aftager mod nul.

Vendepunktet er det punkt, hvor væksten ( $y'$ ) er størst — dvs. hvor kurven skifter fra at være konveks (buer opad) til at være konkav (buer nedad).

For at finde vendepunktet differentierer vi $y'$ :

$y' = \frac{ky(M - y)}{M}$

Væksten $y'$ er maksimal, når $y(M-y)$ er maksimal. Vi betragter $f(y) = y(M-y) = My - y^2$ :

$f'(y) = M - 2y = 0 \implies y = \frac{M}{2}$

Vendepunktet ligger altså ved:

$\boxed{y = \frac{M}{2}}$

Ved vendepunktet er den maksimale vækstrate:

$y'_{\text{max}} = \frac{k \cdot \frac{M}{2} \cdot \frac{M}{2}}{M} = \frac{kM}{4}$

Tidspunktet for vendepunktet finder vi ved at sætte $y(t_v) = \frac{M}{2}$ :

\begin{aligned} \frac{M}{2} &= \frac{M}{1 + ce^{-kt_v}} \\ 1 + ce^{-kt_v} &= 2 \\ ce^{-kt_v} &= 1 \\ e^{-kt_v} &= \frac{1}{c} \\ t_v &= \frac{\ln c}{k} \end{aligned}

Vis Eksempel: Fuld logistisk modelberegning ⚡

Opgave: En smitsom sygdom spreder sig i en by med 10.000 indbyggere. Ved $t = 0$ (dag 0) er 100 personer smittede, og smitten følger den logistiske model med $k = 0{,}3$ pr. dag. Find:

a) Løsningsformlen $y(t)$ .

b) Antal smittede efter 20 dage.

c) Hvornår er halvdelen af byen smittet?

d) Hvornår er smitten størst?

Løsning:

Parametre: $M = 10000$ , $y_0 = 100$ , $k = 0{,}3$ .

a) Løsningsformlen:

Først beregner vi $c$ :

$c = \frac{M - y_0}{y_0} = \frac{10000 - 100}{100} = \frac{9900}{100} = 99$

Løsningen er:

$\boxed{y(t) = \frac{10000}{1 + 99 \cdot e^{-0{,}3t}}}$

b) Antal smittede efter 20 dage:

\begin{aligned} y(20) &= \frac{10000}{1 + 99 \cdot e^{-0{,}3 \cdot 20}} \\ &= \frac{10000}{1 + 99 \cdot e^{-6}} \\ &= \frac{10000}{1 + 99 \cdot 0{,}002479} \\ &= \frac{10000}{1 + 0{,}2454} \\ &= \frac{10000}{1{,}2454} \\ &\approx 8030 \end{aligned}

Efter 20 dage er ca. 8030 personer smittet.

c) Hvornår er halvdelen smittet?

Vi sætter $y(t) = 5000$ :

\begin{aligned} 5000 &= \frac{10000}{1 + 99 \cdot e^{-0{,}3t}} \\ 1 + 99e^{-0{,}3t} &= 2 \\ 99e^{-0{,}3t} &= 1 \\ e^{-0{,}3t} &= \frac{1}{99} \\ -0{,}3t &= \ln\frac{1}{99} = -\ln 99 \\ t &= \frac{\ln 99}{0{,}3} = \frac{4{,}595}{0{,}3} \approx 15{,}3 \text{ dage} \end{aligned}

d) Hvornår er smitten størst?

Smitten er størst ved vendepunktet, dvs. når $y = \frac{M}{2} = 5000$ . Det sker altså ved $t \approx 15{,}3$ dage (samme som ovenfor!). Det giver mening: vendepunktet ligger altid ved $y = \frac{M}{2}$ .

Den maksimale smitterate er:

$y'_{\text{max}} = \frac{kM}{4} = \frac{0{,}3 \cdot 10000}{4} = 750 \text{ nye smittede pr. dag}$

✅

Vis Eksempel: Bestemmelse af parametre fra data ⚡

Opgave: En ny app spreder sig logistisk. Der er potentielt 50.000 brugere ( $M = 50000$ ). Ved $t = 0$ har appen 500 brugere, og ved $t = 10$ (uger) har den 5000 brugere. Bestem $k$ .

Løsning:

Trin 1 — Beregn $c$ :

$c = \frac{M - y_0}{y_0} = \frac{50000 - 500}{500} = 99$

Trin 2 — Brug datapunktet $y(10) = 5000$ :

\begin{aligned} 5000 &= \frac{50000}{1 + 99 \cdot e^{-10k}} \\ 1 + 99e^{-10k} &= \frac{50000}{5000} = 10 \\ 99e^{-10k} &= 9 \\ e^{-10k} &= \frac{9}{99} = \frac{1}{11} \\ -10k &= \ln\frac{1}{11} = -\ln 11 \\ k &= \frac{\ln 11}{10} \approx \frac{2{,}398}{10} \approx 0{,}240 \end{aligned}

Svar: Vækstkonstanten er $k \approx 0{,}240$ pr. uge. ✅

Vis Eksempel: Verificering af den logistiske løsning ⚡

Opgave: Vis at $y(t) = \frac{M}{1 + ce^{-kt}}$ opfylder $\frac{dy}{dt} = \frac{ky(M-y)}{M}$ .

Løsning:

Trin 1 — Differentier $y(t)$ :

Vi bruger kvotientreglen. Lad $u = M$ og $v = 1 + ce^{-kt}$ , så $v' = -cke^{-kt}$ :

\begin{aligned} y' &= \frac{u'v - uv'}{v^2} = \frac{0 \cdot v - M \cdot (-cke^{-kt})}{(1 + ce^{-kt})^2} \\ &= \frac{Mcke^{-kt}}{(1 + ce^{-kt})^2} \end{aligned}

Trin 2 — Beregn $\frac{ky(M-y)}{M}$ :

Først finder vi $M - y$ :

$M - y = M - \frac{M}{1 + ce^{-kt}} = \frac{M(1 + ce^{-kt}) - M}{1 + ce^{-kt}} = \frac{Mce^{-kt}}{1 + ce^{-kt}}$

Nu:

\begin{aligned} \frac{ky(M-y)}{M} &= \frac{k}{M} \cdot \frac{M}{1 + ce^{-kt}} \cdot \frac{Mce^{-kt}}{1 + ce^{-kt}} \\ &= \frac{Mkce^{-kt}}{(1 + ce^{-kt})^2} \end{aligned}

Trin 3 — Sammenlign:

$y' = \frac{Mcke^{-kt}}{(1 + ce^{-kt})^2} = \frac{ky(M-y)}{M} \quad \checkmark$

Løsningen er verificeret! ✅

Teori: Sammenligning af modeller

Egenskab	Eksponentiel ( $y' = ky$ )	Logistisk ( $y' = \frac{ky(M-y)}{M}$ )
Løsning	$y = y_0 e^{kt}$	$y = \frac{M}{1 + ce^{-kt}}$
Væksttype	Ubegrænset	Begrænset
Øvre grænse	Ingen	$M$ (bæreevne)
Kurveform	Eksponentiel	S-formet (sigmoid)
Vendepunkt	Intet	Ved $y = M/2$
Langtidsopførsel	$y \to \infty$	$y \to M$
Hvornår bruges den?	Kort sigt, ubegrænsede ressourcer	Lang sigt, begrænsede ressourcer

Tommelfingerregel: Brug den eksponentielle model, når populationen er langt fra sin bæreevne (dvs. $y \ll M$ ). Brug den logistiske model, når ressourcebegrænsninger spiller ind.

🏋️ Træningsopgaver

Opgave 1: En fiskepopulation følger den logistiske model med $M = 8000$ , $k = 0{,}5$ og $y_0 = 400$ .

a) Bestem $c$ og skriv løsningsformlen $y(t)$ .

b) Beregn $y(10)$ .

c) Hvornår er populationen 4000 (vendepunktet)?

d) Hvad er den maksimale vækstrate?

Opgave 2: En epidemi beskrives ved $y' = 0{,}2 \cdot y \cdot \frac{20000 - y}{20000}$ , $y(0) = 50$ .

a) Hvad er bæreevnen?

b) Beregn $c$ .

c) Hvornår er halvdelen af populationen smittet?

Opgave 3: Forklar med egne ord, hvorfor vendepunktet på den logistiske kurve altid ligger ved $y = \frac{M}{2}$ .

Opgave 4: En app har logistisk vækst med $M = 100000$ , $y_0 = 1000$ og $k = 0{,}15$ pr. dag.

a) Skriv $y(t)$ .

b) Hvornår har appen 50.000 brugere?

c) Hvad er den daglige vækst, når appen har præcis 30.000 brugere?

Opgave 5 (Boss-kamp!): To modeller konkurrerer om at beskrive en populations vækst:

Model A: $y = 200 \cdot e^{0{,}1t}$ (eksponentiel)
Model B: $y = \frac{10000}{1 + 49 \cdot e^{-0{,}1t}}$ (logistisk)

a) Vis at begge modeller giver $y(0) = 200$ .

b) Beregn $y(20)$ for begge modeller.

c) Forklar forskellen og hvornår hver model er passende.

Quiz – Test din forståelse

Matematik Boss-Kamp ⚔️

Løs opgavesættet

Op til +50 XP

I den logistiske model y' = ky(M-y)/M, hvad repræsenterer M?