Optimering og monotoni 🎯

Du har nu lært at differentiere funktioner. Men hvad kan vi egentlig bruge den afledede til? Svaret er: utroligt meget!

En af de vigtigste anvendelser er at finde maksimum og minimum for funktioner. Hvornår er overskuddet størst? Hvornår er materialeforbruget mindst? Hvornår flyver raketten højest? Alt dette handler om optimering – og nøglen er den afledede funktion. 🔑

Teori: Monotoniforhold – hvornår vokser og aftager en funktion?

Der er en direkte sammenhæng mellem fortegnet af $f'(x)$ og funktionens monotoniforholdBeskrivelsen af, hvor en funktion er voksende, aftagende eller konstant:

\boxed{f'(x) > 0 \implies f \text{ er voksende}}

\boxed{f'(x) < 0 \implies f \text{ er aftagende}}

\boxed{f'(x) = 0 \implies f \text{ har vandret tangent (stationært punkt)}}

Intuitionen: Den afledede måler hældningen af tangenten.

Positiv hældning → grafen går opad → funktionen vokser
Negativ hældning → grafen går nedad → funktionen aftager
Nul hældning → grafen er vandret → et stationært punkt

For at bestemme monotoniforholdene laver vi en monotonilinjeEn systematisk oversigt over fortegnene af f'(x) i forskellige intervaller, som bruges til at bestemme monotoniforhold (også kaldet fortegnslinje for $f'$ ).

Fremgangsmåde:

Find $f'(x)$
Løs $f'(x) = 0$ for at finde de stationære punkter
Undersøg fortegnet af $f'(x)$ i intervallerne mellem nulpunkterne
Aflæs monotoniforholdene

Vis Eksempel: Monotoniforhold for et polynomium ⚡

Opgave: Bestem monotoniforholdene for $f(x) = x^3 - 3x$ .

Trin 1: Find $f'(x)$

f'(x) = 3x^2 - 3

Trin 2: Løs $f'(x) = 0$

\begin{aligned} 3x^2 - 3 &= 0 \\ 3x^2 &= 3 \\ x^2 &= 1 \\ x &= -1 \quad \text{eller} \quad x = 1 \end{aligned}

Trin 3: Undersøg fortegnene

Vi vælger testpunkter i hvert interval:

Interval	Testpunkt	$f'(\text{test})$	Fortegn
$x < -1$	$x = -2$	$3 \cdot 4 - 3 = 9$	$+$
$-1 < x < 1$	$x = 0$	$3 \cdot 0 - 3 = -3$	$-$
$x > 1$	$x = 2$	$3 \cdot 4 - 3 = 9$	$+$

Trin 4: Monotonilinje

$x$	$-\infty$		$-1$		$1$		$+\infty$
$f'(x)$		$+$	$0$	$-$	$0$	$+$
$f$		$\nearrow$		$\searrow$		$\nearrow$

Konklusion:

$f$ er voksende for $x < -1$ og $x > 1$
$f$ er aftagende for $-1 < x < 1$

Teori: Stationære punkter og ekstrema

Et stationært punktEt punkt hvor f'(x) = 0, dvs. tangenten er vandret er et punkt, hvor $f'(x_0) = 0$ . Der findes tre typer:

1. Lokalt maksimum: $f'$ skifter fortegn fra positiv til negativ (funktionen vokser og begynder at aftage).

f'(x_0) = 0, \quad f'(x) > 0 \text{ for } x < x_0, \quad f'(x) < 0 \text{ for } x > x_0

2. Lokalt minimum: $f'$ skifter fortegn fra negativ til positiv (funktionen aftager og begynder at vokse).

f'(x_0) = 0, \quad f'(x) < 0 \text{ for } x < x_0, \quad f'(x) > 0 \text{ for } x > x_0

3. Vandret vendetangent (inflektionspunkt): $f'$ skifter ikke fortegn. Funktionen fortsætter i samme retning, men med et kort “hvil” hvor tangenten er vandret.

Huskeregel med emojis:

📈📉 → lokalt maksimum (bjergtop)
📉📈 → lokalt minimum (dal)
📈📈 eller 📉📉 → vandret vendetangent (plateau)

Vis Eksempel: Find ekstrema for

f(x) = x^3 - 3x

⚡

Vi fortsætter med $f(x) = x^3 - 3x$ fra forrige eksempel.

Vi fandt, at $f'(x) = 3x^2 - 3 = 0$ giver $x = -1$ og $x = 1$ .

Fra monotonilinjen ved vi:

I $x = -1$ : $f'$ skifter fra $+$ til $-$ , altså har vi et lokalt maksimum.

f(-1) = (-1)^3 - 3(-1) = -1 + 3 = 2

Lokalt maksimum i $(-1, 2)$ .

I $x = 1$ : $f'$ skifter fra $-$ til $+$ , altså har vi et lokalt minimum.

f(1) = 1^3 - 3 \cdot 1 = 1 - 3 = -2

Lokalt minimum i $(1, -2)$ .

Opsummering: Funktionen $f(x) = x^3 - 3x$ har:

Lokalt maksimum: $(- 1, 2)$
Lokalt minimum: $(1, -2)$

Teori: Lokale vs. globale ekstrema

Det er vigtigt at skelne mellem lokaleDen største/mindste funktionsværdi i en omegn af et punkt og globaleDen absolut største/mindste funktionsværdi i hele definitionsmængden eller et givet interval ekstrema:

Et lokalt maksimum er det højeste punkt i nærheden – der kan være højere punkter andetsteds
Et globalt maksimum er det absolut højeste punkt i hele definitionsmængden (eller i et givet interval)

For polynomier af ulige grad (som $x^3 - 3x$ ) findes der ingen globale ekstrema, fordi funktionen vokser mod $+\infty$ og $-\infty$ .

For polynomier af lige grad (som $x^4 - 2x^2$ ) findes der altid et globalt minimum (eller maksimum, hvis koefficienten foran den højeste potens er negativ).

I et lukket interval $[a, b]$ : Det globale maksimum og minimum findes enten:

I et stationært punkt (hvor $f'(x) = 0$ ), eller
I et af endepunkterne $x = a$ eller $x = b$

Fremgangsmåde for globale ekstrema i $[a, b]$ :

Find alle stationære punkter i $[a, b]$
Beregn $f$ i alle stationære punkter og i endepunkterne $a$ og $b$
Den største værdi er det globale maksimum, den mindste er det globale minimum

Vis Eksempel: Globale ekstrema i et lukket interval ⚡

Opgave: Find det globale maksimum og minimum for $f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 1$ i intervallet $[0, 5]$ .

Trin 1: Find stationære punkter

f'(x) = 3x^2 - 12x + 9 = 3(x^2 - 4x + 3) = 3(x - 1)(x - 3)

f'(x) = 0 \implies x = 1 \quad \text{eller} \quad x = 3

Begge ligger i $[0, 5]$ . ✅

Trin 2: Beregn funktionsværdierne

\begin{aligned} f(0) &= 0 - 0 + 0 + 1 = 1 \\ f(1) &= 1 - 6 + 9 + 1 = 5 \\ f(3) &= 27 - 54 + 27 + 1 = 1 \\ f(5) &= 125 - 150 + 45 + 1 = 21 \end{aligned}

Trin 3: Sammenlign

$x$	$f(x)$
$0$	$1$
$1$	$5$
$3$	$1$
$5$	$21$

Konklusion:

Globalt minimum er $f(0) = f(3) = 1$ (opnås i $x = 0$ og $x = 3$ )
Globalt maksimum er $f(5) = 21$ (opnås i endepunktet $x = 5$ )

Bemærk: Det globale maksimum lå i et endepunkt, ikke i et stationært punkt! Derfor er det vigtigt altid at tjekke endepunkterne.

Vis Eksempel: Vandret vendetangent ⚡

Opgave: Undersøg det stationære punkt for $f(x) = x^3$ .

Find $f'(x)$ :

f'(x) = 3x^2

Løs $f'(x) = 0$ :

3x^2 = 0 \implies x = 0

Undersøg fortegnene:

For $x < 0$ : $f'(x) = 3x^2 > 0$ (positiv!)
For $x > 0$ : $f'(x) = 3x^2 > 0$ (positiv!)

$f'$ skifter ikke fortegn i $x = 0$ . Funktionen er voksende på begge sider af $x = 0$ .

Konklusion: $x = 0$ er en vandret vendetangent – hverken maksimum eller minimum. Funktionen “holder en kort pause” i sin vækst, men aftager aldrig.

Teori: Optimeringsopgaver – en systematisk fremgangsmåde

OptimeringsopgaverOpgaver hvor man skal finde den største eller mindste værdi af en størrelse under givne betingelser er opgaver fra den virkelige verden, hvor du skal finde den bedste løsning – fx det største areal, den mindste omkostning, eller den højeste profit.

Fremgangsmåde i 5 trin:

Trin 1: Forstå problemet Læs opgaven grundigt. Hvad skal optimeres (maks/min)? Hvad er de givne betingelser?

Trin 2: Indfør variable og opstil funktionen Kald den ubekendte størrelse for $x$ . Udtryk det, der skal optimeres, som en funktion $f(x)$ . Brug eventuelle betingelser (bindinger) til at reducere til én variabel.

Trin 3: Bestem definitionsmængden Hvilke værdier giver mening for $x$ i den givne kontekst? (fx længder skal være positive)

Trin 4: Differentier og find stationære punkter Beregn $f'(x)$ , sæt $f'(x) = 0$ og løs.

Trin 5: Bestem optimum Brug monotonilinjen eller tjek endepunkter til at afgøre, om det stationære punkt er et maksimum eller minimum. Beregn den optimale funktionsværdi og besvar opgavens spørgsmål med ord.

Vis Eksempel: Optimering – indhegning med hegn ⚡

Opgave: En landmand har 120 m hegn og vil indhegne et rektangulært areal op ad en mur. Hegnet bruges kun til de tre sider, der ikke er mur. Hvad er det størst mulige areal?

Trin 1: Forstå problemet

Vi har tre sider af hegn: to sider med længde $x$ (vinkelret på muren) og én side med længde $y$ (parallel med muren). Vi skal maksimere arealet.

Trin 2: Opstil funktionen

Betingelse (hegn): $2x + y = 120$ , altså $y = 120 - 2x$ .

Arealet udtrykkes som funktion af $x$ :

A(x) = x \cdot y = x(120 - 2x) = 120x - 2x^2

Trin 3: Definitionsmængde

Længder skal være positive: $x > 0$ og $y > 0$ , dvs. $120 - 2x > 0$ , altså $x < 60$ .

Definitionsmængde: $0 < x < 60$ .

Trin 4: Differentier og find stationære punkter

A'(x) = 120 - 4x

A'(x) = 0 \implies 120 - 4x = 0 \implies x = 30

Trin 5: Bestem optimum

Monotoniundersøgelse:

For $x < 30$ : $A'(x) = 120 - 4x > 0$ → voksende
For $x > 30$ : $A'(x) = 120 - 4x < 0$ → aftagende

$f'$ skifter fra $+$ til $-$ , så $x = 30$ giver et maksimum.

y = 120 - 2 \cdot 30 = 60

A(30) = 30 \cdot 60 = 1800 \text{ m}^2

Svar: Det størst mulige areal er 1800 m² med sidelængderne $x = 30$ m og $y = 60$ m.

Interaktiv Optimering: Det Største Areal 🚜

Landmanden har 120 m hegn. Træk i skyderen for at ændre x og finde det maksimale areal.

Fysisk Model

Sidelængde (x):15.0 m

0 mOptimal: 30 m60 m

Arealfunktion A(x) = 120x - 2x²

Funktion: A(x) = x · (120 - 2x) =120x - 2x²

Afledte: A'(x) = 120 - 4x =60

Nuværende Areal:1350 m²

💡 Tip: Prøv at flytte skyderen indtil den afledede $A'(x)$ bliver præcis 0. Hvad sker der med det nuværende areal?

Vis Eksempel: Optimering – dåse med mindst materiale ⚡

Opgave: En cylinderformet dåse skal rumme $V = 500$ cm³. Find de dimensioner (radius $r$ og højde $h$ ) der giver det mindste overfladeareal (mindst materialeforbrug).

Trin 1: Vi skal minimere overfladearealet $S$ under betingelsen, at volumen er 500 cm³.

Trin 2: Opstil funktionen

Volumen: $V = \pi r^2 h = 500 \implies h = \frac{500}{\pi r^2}$

Overfladeareal (top + bund + side):

S(r) = 2\pi r^2 + 2\pi r h = 2\pi r^2 + 2\pi r \cdot \frac{500}{\pi r^2} = 2\pi r^2 + \frac{1000}{r}

Trin 3: Definitionsmængde: $r > 0$ .

Trin 4: Differentier

S'(r) = 4\pi r - \frac{1000}{r^2}

Sæt $S'(r) = 0$ :

\begin{aligned} 4\pi r - \frac{1000}{r^2} &= 0 \\ 4\pi r &= \frac{1000}{r^2} \\ 4\pi r^3 &= 1000 \\ r^3 &= \frac{1000}{4\pi} = \frac{250}{\pi} \\ r &= \sqrt[3]{\frac{250}{\pi}} \approx 4{,}30 \text{ cm} \end{aligned}

Trin 5: Bestem optimum

For $r < \sqrt[3]{\frac{250}{\pi}}$ : $S'(r) < 0$ (aftagende).

For $r > \sqrt[3]{\frac{250}{\pi}}$ : $S'(r) > 0$ (voksende).

$f'$ skifter fra $-$ til $+$ , så det er et minimum. ✅

h = \frac{500}{\pi r^2} = \frac{500}{\pi \left(\frac{250}{\pi}\right)^{2/3}} \approx 8{,}60 \text{ cm}

Bemærk at $h \approx 2r$ , dvs. højden er omtrent lig diameteren – en harmonisk form.

Svar: Dåsen bruger mindst materiale, når $r \approx 4{,}30$ cm og $h \approx 8{,}60$ cm.

Vis Eksempel: Optimering – maksimal omsætning ⚡

Opgave: En virksomhed sælger $q$ enheder til prisen $p(q) = 200 - 2q$ kr. pr. enhed. Find den produktionsmængde, der giver den største omsætning.

Trin 2: Opstil omsætningsfunktionen

OmsætningenDen samlede indtægt, dvs. pris gange solgte enheder: O = p · q er:

O(q) = p \cdot q = (200 - 2q) \cdot q = 200q - 2q^2

Trin 3: Definitionsmængde: $q > 0$ og $p > 0$ , dvs. $200 - 2q > 0$ , altså $0 < q < 100$ .

Trin 4: Differentier

O'(q) = 200 - 4q

O'(q) = 0 \implies 200 - 4q = 0 \implies q = 50

Trin 5: Monotoni

For $q < 50$ : $O'(q) > 0$ → voksende
For $q > 50$ : $O'(q) < 0$ → aftagende

$O'$ skifter fra $+$ til $-$ , så $q = 50$ giver maksimal omsætning.

O(50) = 200 \cdot 50 - 2 \cdot 50^2 = 10000 - 5000 = 5000 \text{ kr.}

Prisen er: $p(50) = 200 - 100 = 100$ kr. pr. enhed.

Svar: Den største omsætning er 5000 kr., opnået ved produktion af 50 enheder til 100 kr. pr. stk.

Teori: Andenafledede-testen (supplerende metode)

I stedet for at lave en fuld monotoniundersøgelse kan man nogle gange bruge den andenaflededeDen afledede af den afledede, f''(x), som fortæller om funktionen er konveks eller konkav $f''(x)$ til at klassificere stationære punkter:

Hvis $f'(x_0) = 0$ , så gælder:

f''(x_0) < 0 \implies \text{lokalt maksimum i } x_0

f''(x_0) > 0 \implies \text{lokalt minimum i } x_0

f''(x_0) = 0 \implies \text{testen er uafgørende (brug monotonilinje)}

Intuition: $f''(x)$ måler, om grafen krummer nedad (konkav, $f'' < 0$ ) eller opad (konveks, $f'' > 0$ ). Krummer den nedad i et stationært punkt, er det en bjergtop (maksimum). Krummer den opad, er det en dal (minimum).

Vis Eksempel: Andenafledede-testen ⚡

Opgave: Klassificer de stationære punkter for $f(x) = x^4 - 8x^2 + 3$ .

Find $f'(x)$ :

f'(x) = 4x^3 - 16x = 4x(x^2 - 4) = 4x(x-2)(x+2)

Stationære punkter: $f'(x) = 0$ giver $x = 0$ , $x = 2$ , $x = -2$ .

Find $f''(x)$ :

f''(x) = 12x^2 - 16

Evaluer:

\begin{aligned} f''(0) &= 12 \cdot 0 - 16 = -16 < 0 &\implies \text{lokalt maksimum} \\ f''(2) &= 12 \cdot 4 - 16 = 32 > 0 &\implies \text{lokalt minimum} \\ f''(-2) &= 12 \cdot 4 - 16 = 32 > 0 &\implies \text{lokalt minimum} \end{aligned}

Funktionsværdier:

\begin{aligned} f(0) &= 0 - 0 + 3 = 3 \\ f(2) &= 16 - 32 + 3 = -13 \\ f(-2) &= 16 - 32 + 3 = -13 \end{aligned}

Konklusion:

Lokalt maksimum i $(0, 3)$
Lokale minima i $(2, -13)$ og $(-2, -13)$

Da $f(x) = x^4 - 8x^2 + 3$ er et fjerdegradspolynomium med positiv førstekoefficient, er de lokale minima også globale minima.

🏋️ Træningsopgaver

Opgave 1: Monotoniforhold

Bestem monotoniforholdene for $f(x) = x^3 - 12x + 5$ . Angiv de intervaller, hvor $f$ er voksende hhv. aftagende.

Opgave 2: Ekstrema

Find og klassificer alle stationære punkter for $g(x) = 2x^3 - 9x^2 + 12x - 4$ .

Opgave 3: Globale ekstrema

Find det globale maksimum og minimum for $f(x) = x^3 - 3x^2 + 2$ i intervallet $[-1, 4]$ .

Opgave 4: Andenafledede-testen

Brug andenafledede-testen til at klassificere de stationære punkter for $h(x) = -x^4 + 4x^2$ .

Opgave 5: Optimering – rektangel

Et rektangel har omkreds 40 cm. Find de sidelængder, der giver det størst mulige areal. Opstil arealfunktionen, differentier, og vis at det er et maksimum.

Opgave 6: Optimering – kasse uden låg

Fra et kvadratisk stykke pap med sidelængde 24 cm klippes der lige store kvadrater (med sidelængde $x$ ) af i hvert hjørne, og siderne foldes op til en kasse uden låg. Bestem $x$ , så rumfanget af kassen bliver størst muligt.

Opgave 7: Vandret vendetangent

Vis, at $f(x) = x^5$ har et stationært punkt i $x = 0$ , og at det hverken er maksimum eller minimum.

Quiz – Test din forståelse

Matematik Boss-Kamp ⚔️

Løs opgavesættet

Op til +50 XP

Hvad kan man konkludere, hvis

f'(x) > 0

i et interval?