Eksponentielle og potensfunktioner 📈

Lineære funktioner beskriver konstant vækst. Men i den virkelige verden vokser mange ting med en fast procent — befolkninger, bakterier, penge på en konto, radioaktivt henfald. Det er eksponentiel vækst (og eksponentielt henfald).

Potensfunktioner beskriver andre naturlige sammenhænge — fx forholdet mellem et dyrs vægt og stofskifte, eller arealet af en cirkel som funktion af radius.

Tid til at tage kampen op mod vækst-bossen! 🐉

Teori: Den eksponentielle funktion

En eksponentiel funktionEn funktion af formen f(x) = b · aˣ, hvor b > 0 er begyndelsesværdien og a > 0, a ≠ 1, er fremskrivningsfaktoren har forskriften:

f(x) = b \cdot a^x

hvor:

$b > 0$ er begyndelsesværdienFunktionsværdien når x = 0, dvs. f(0) = b (startværdien)
$a > 0$ , $a \neq 1$ , er fremskrivningsfaktorenDet tal, funktionsværdien ganges med, når x vokser med 1

Fortolkning af $a$ :

Fremskrivningsfaktor	Type vækst	Procentændring
$a > 1$	Eksponentiel vækst	Stiger med $(a - 1) \cdot 100\%$ pr. enhed
$0 < a < 1$	Eksponentielt henfald	Falder med $(1 - a) \cdot 100\%$ pr. enhed

Fra procent til fremskrivningsfaktor:

Vækst på $r\%$ : $a = 1 + \frac{r}{100}$
Henfald på $r\%$ : $a = 1 - \frac{r}{100}$

Eksempel: En vækst på $5\%$ giver $a = 1 + 0{,}05 = 1{,}05$ .

Grafens egenskaber:

Grafen går altid gennem punktet $(0, b)$
Grafen er altid over $x$ -aksen (aldrig nul eller negativ)
For $a > 1$ : voksende, konveks (buer opad)
For $0 < a < 1$ : aftagende, konveks (buer opad)

Vis Eksempel: Bestem forskrift for eksponentiel funktion ⚡

Opgave: En eksponentiel funktion går gennem punkterne $(0, 500)$ og $(3, 864)$ . Bestem forskriften.

Løsning:

Trin 1: Da $f(0) = b$ , aflæser vi direkte:

b = 500

Trin 2: Vi indsætter det andet punkt $(3, 864)$ :

\begin{aligned} 864 &= 500 \cdot a^3 \\ a^3 &= \frac{864}{500} = 1{,}728 \\ a &= \sqrt[3]{1{,}728} = 1{,}2 \end{aligned}

Forskriften er:

f(x) = 500 \cdot 1{,}2^x

Fortolkning: Begyndelsesværdien er $500$ , og funktionen vokser med $20\%$ pr. enhed.

Vis Eksempel: Bestem forskrift fra to vilkårlige punkter ⚡

[!NOTE] Se det formelle, trinvise eksamensbevis for to-punkts-formlen for en eksponentiel udvikling i: Eksponentiel Vækst (B) Bevis.

Opgave: En eksponentiel funktion går gennem $(2, 18)$ og $(5, 486)$ . Find forskriften.

Løsning:

Trin 1: Vi opstiller to ligninger:

18 = b \cdot a^2 \quad \text{og} \quad 486 = b \cdot a^5

Trin 2: Divider den anden ligning med den første for at eliminere $b$ :

\frac{486}{18} = \frac{b \cdot a^5}{b \cdot a^2} = a^3

a^3 = 27 \implies a = \sqrt[3]{27} = 3

Trin 3: Find $b$ ved indsættelse i den første ligning:

18 = b \cdot 3^2 = 9b \implies b = 2

Forskriften er:

f(x) = 2 \cdot 3^x

Kontrol: $f(5) = 2 \cdot 3^5 = 2 \cdot 243 = 486$ ✓

Teori: Fordoblings- og halveringskonstant

FordoblingstidenDen tid (eller x-ændring) det tager for funktionsværdien at fordobles $T_2$ er den $x$ -ændring, det tager for funktionsværdien at blive dobbelt så stor:

T_2 = \frac{\ln(2)}{\ln(a)}

HalveringskonstantenDen tid (eller x-ændring) det tager for funktionsværdien at halveres $T_{1/2}$ er den $x$ -ændring, det tager for funktionsværdien at halveres:

T_{1/2} = \frac{\ln(0{,}5)}{\ln(a)} = \frac{-\ln(2)}{\ln(a)}

Bemærk: Fordoblingstiden bruges ved vækst ( $a > 1$ ), og halveringskonstanten bruges ved henfald ( $0 < a < 1$ ).

Udledning af fordoblingstiden:

Vi søger $T_2$ så $f(x + T_2) = 2 \cdot f(x)$ :

\begin{aligned} b \cdot a^{x + T_2} &= 2 \cdot b \cdot a^x \\ a^{T_2} &= 2 \\ T_2 \cdot \ln(a) &= \ln(2) \\ T_2 &= \frac{\ln(2)}{\ln(a)} \end{aligned}

Vis Eksempel: Fordoblingstid og halveringskonstant ⚡

Opgave: En bakteriekultur beskrives ved $f(t) = 1000 \cdot 1{,}15^t$ (antal bakterier efter $t$ timer).

a) Bestem fordoblingstiden.

b) Hvor mange bakterier er der efter 10 timer?

Løsning:

a) Fordoblingstiden:

T_2 = \frac{\ln(2)}{\ln(1{,}15)} = \frac{0{,}6931}{0{,}1398} \approx 4{,}96 \text{ timer}

Antallet fordobles altså ca. hvert $5.$ time.

b) Antal efter 10 timer:

f(10) = 1000 \cdot 1{,}15^{10} = 1000 \cdot 4{,}046 \approx 4046 \text{ bakterier}

Opgave 2: Et radioaktivt stof henfalder med $3\%$ pr. dag. Bestem halveringskonstanten.

Løsning:

Fremskrivningsfaktoren er $a = 1 - 0{,}03 = 0{,}97$ .

T_{1/2} = \frac{\ln(0{,}5)}{\ln(0{,}97)} = \frac{-0{,}6931}{-0{,}0305} \approx 22{,}7 \text{ dage}

Stoffet halveres ca. hver $22{,}7$ dag.

Teori: Potensfunktioner

En potensfunktionEn funktion af formen f(x) = b · xᵃ, hvor b > 0 er proportionalitetskonstanten og a er eksponenten har forskriften:

f(x) = b \cdot x^a

hvor $b > 0$ og $a$ er en konstant.

Vigtig forskel fra eksponentielle funktioner:

Funktionstype	Variablen $x$ er…	Eksempel
Eksponentiel: $f(x) = b \cdot a^x$	I eksponenten	$f(x) = 3 \cdot 2^x$
Potens: $f(x) = b \cdot x^a$	I basen	$f(x) = 3 \cdot x^2$

Kendte potensfunktioner:

Eksponent $a$	Funktion	Eksempel
$a = 1$	Lineær	$f(x) = 5x$
$a = 2$	Kvadratisk	$f(x) = 3x^2$ (areal)
$a = 3$	Kubisk	$f(x) = x^3$ (rumfang)
$a = \frac{1}{2}$	Kvadratrod	$f(x) = \sqrt{x}$
$a = -1$	Omvendt proportional	$f(x) = \frac{k}{x}$

Grafens egenskaber (for $x > 0$ ):

$a > 1$ : Voksende, konveks (buer opad)
$0 < a < 1$ : Voksende, konkav (buer nedad)
$a < 0$ : Aftagende

Vis Eksempel: Bestem en potensfunktions forskrift ⚡

Opgave: En potensfunktion går gennem $(2, 12)$ og $(5, 75)$ . Bestem forskriften.

Løsning:

Trin 1: Opstil to ligninger:

12 = b \cdot 2^a \quad \text{og} \quad 75 = b \cdot 5^a

Trin 2: Divider for at eliminere $b$ :

\frac{75}{12} = \frac{b \cdot 5^a}{b \cdot 2^a} = \left(\frac{5}{2}\right)^a

6{,}25 = 2{,}5^a

Trin 3: Tag logaritmen på begge sider:

\ln(6{,}25) = a \cdot \ln(2{,}5)

a = \frac{\ln(6{,}25)}{\ln(2{,}5)} = \frac{1{,}8326}{0{,}9163} = 2

Trin 4: Find $b$ :

12 = b \cdot 2^2 = 4b \implies b = 3

Forskriften er:

f(x) = 3x^2

Teori: Dobbeltlogaritmisk papir og logaritmisk papir

For at identificere funktionstypen grafisk bruger vi specielle koordinatsystemer:

Enkeltlogaritmisk papir (semilog):

$x$ -aksen er lineær, $y$ -aksen er logaritmisk
En eksponentiel funktion $f(x) = b \cdot a^x$ vises som en ret linje på enkeltlogaritmisk papir
Hældningen på den rette linje er $\ln(a)$ , og skæringen med den lodrette akse er $\ln(b)$

Dobbeltlogaritmisk papir (log-log):

Begge akser er logaritmiske
En potensfunktion $f(x) = b \cdot x^a$ vises som en ret linje på dobbeltlogaritmisk papir
Hældningen er $a$ (eksponenten), og skæringen med den lodrette akse er $\ln(b)$

Metode til at afgøre funktionstype fra data:

Plot data på enkeltlogaritmisk papir. Ligger punkterne på en ret linje? → Eksponentiel funktion.
Plot data på dobbeltlogaritmisk papir. Ligger punkterne på en ret linje? → Potensfunktion.
Plot data på almindeligt papir. Ret linje? → Lineær funktion.

Matematisk baggrund:

For $f(x) = b \cdot a^x$ : Tag $\ln$ på begge sider:

\ln(f(x)) = \ln(b) + x \cdot \ln(a)

Dette er lineært i $(x, \ln(f(x)))$ — altså en ret linje på enkeltlogaritmisk papir.

For $f(x) = b \cdot x^a$ : Tag $\ln$ på begge sider:

\ln(f(x)) = \ln(b) + a \cdot \ln(x)

Dette er lineært i $(\ln(x), \ln(f(x)))$ — altså en ret linje på dobbeltlogaritmisk papir.

Vis Eksempel: Identificer funktionstype fra data ⚡

Opgave: Data for en sammenhæng er givet ved:

$x$	$1$	$2$	$4$	$8$
$y$	$3$	$12$	$48$	$192$

Er sammenhængen eksponentiel eller en potensfunktion?

Løsning:

Test 1: Er det eksponentielt? Tjek om forholdet $\frac{y_{i+1}}{y_i}$ er konstant, når $x$ vokser med en fast mængde:

Fra $x = 1$ til $x = 2$ ( $\Delta x = 1$ ): $\frac{12}{3} = 4$

Fra $x = 2$ til $x = 4$ ( $\Delta x = 2$ ): $\frac{48}{12} = 4$

$\Delta x$ er ikke konstant, så vi kan ikke direkte konkludere. Lad os prøve potens.

Test 2: Er det en potensfunktion? Vi beregner $\ln(x)$ og $\ln(y)$ :

$\ln(x)$	$0$	$0{,}693$	$1{,}386$	$2{,}079$
$\ln(y)$	$1{,}099$	$2{,}485$	$3{,}871$	$5{,}257$

Tjek hældningen: $\frac{2{,}485 - 1{,}099}{0{,}693 - 0} = \frac{1{,}386}{0{,}693} = 2$ og $\frac{5{,}257 - 3{,}871}{2{,}079 - 1{,}386} = \frac{1{,}386}{0{,}693} = 2$ .

Hældningen er konstant = $2$ , og $\ln(b) = 1{,}099 \implies b = 3$ .

Sammenhængen er en potensfunktion: $f(x) = 3x^2$ .

Vis Eksempel: Eksponentiel vækst i praksis — renters rente ⚡

Opgave: Du sætter 10.000 kr. i banken til $2{,}5\%$ årlig rente. Modellen for beløbet efter $t$ år er:

K(t) = 10000 \cdot 1{,}025^t

a) Hvad er beløbet efter 10 år? b) Hvornår er beløbet fordoblet?

Løsning:

a) Beløb efter 10 år:

K(10) = 10000 \cdot 1{,}025^{10} = 10000 \cdot 1{,}2801 \approx 12801 \text{ kr.}

b) Vi finder fordoblingstiden:

T_2 = \frac{\ln(2)}{\ln(1{,}025)} = \frac{0{,}6931}{0{,}0247} \approx 28{,}1 \text{ år}

Beløbet er fordoblet efter ca. $28$ år.

Alternativ metode: Løs $20000 = 10000 \cdot 1{,}025^t$ :

\begin{aligned} 2 &= 1{,}025^t \\ \ln(2) &= t \cdot \ln(1{,}025) \\ t &= \frac{\ln(2)}{\ln(1{,}025)} \approx 28{,}1 \text{ år} \end{aligned}

🏋️ Træningsopgaver

Opgave 1: En eksponentiel funktion er givet ved $f(x) = 200 \cdot 1{,}08^x$ . Bestem:

a) Begyndelsesværdien

b) Vækstraten i procent

c) Fordoblingstiden

Opgave 2: En eksponentiel funktion går gennem $(0, 50)$ og $(4, 32)$ . Bestem forskriften og angiv om der er tale om vækst eller henfald.

Opgave 3: Et radioaktivt stof har halveringstiden 5 dage. Der er 800 g til at starte med. Opstil en forskrift og beregn, hvor meget der er tilbage efter 15 dage.

Opgave 4: En potensfunktion går gennem $(3, 54)$ og $(6, 432)$ . Bestem forskriften.

Opgave 5: Forklar hvordan man grafisk kan skelne mellem en eksponentiel funktion og en potensfunktion ved hjælp af logaritmisk papir.

Opgave 6: Afgør om nedenstående data bedst beskrives af en lineær, eksponentiel eller potensfunktion:

$x$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$
$y$	$5$	$20$	$45$	$80$	$125$

Quiz – Test din forståelse

Matematik Boss-Kamp ⚔️

Løs opgavesættet

Op til +50 XP

Hvad er fremskrivningsfaktoren, hvis noget vokser med 7% pr. år?