Matematik kræver en entydig rækkefølge for udregninger, så alle når frem til det samme resultat. Denne rækkefølge kaldes regnearternes hierarki (eller PEMDAS/BODMAS):

1. Parenteser (indersk parentes beregnes først).
2. Potenser og Rødder ($x^n$, $\sqrt{x}$).
3. Multiplikation og Division ($\cdot$, $/$) – fra venstre mod højre.
4. Addition og Subtraktion ($+$, $-$) – fra venstre mod højre.

Eksempel: $5 + 2 \cdot (3^2 - 1) / 4$ • Parentes: $3^2 - 1 = 9 - 1 = 8$ • Udtryk nu: $5 + 2 \cdot 8 / 4$ • Gange/Divide fra venstre: $2 \cdot 8 = 16 \implies 16 / 4 = 4$ • Plus til sidst: $5 + 4 = 9$

Når vi arbejder med negative tal, gælder de klassiske fortegnsregler:

• Plus gange plus giver plus: $(+a) \cdot (+b) = +ab$ • Minus gange minus giver plus: $(-a) \cdot (-b) = +ab$ • Forskellige fortegn giver minus: $(-a) \cdot (+b) = -ab$

Den Distributive Lov: Gange ind i en parentes ophæver parentesen ved at gange leddet på hvert led indeni: $a(b + c) = ab + ac \quad \text{og} \quad -(b - c) = -b + c$

Eksempel: $-3(2x - 4) = (-3) \cdot 2x + (-3) \cdot (-4) = -6x + 12$

Tre helt fundamentale algebramæssige redskaber til at reducere udtryk og løse ligninger:

1. Første kvadratsetning: $(a + b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab$
2. Anden kvadratsetning: $(a - b)^2 = a^2 + b^2 - 2ab$
3. Tredje kvadratsetning (To tals sum gange samme to tals differens): $(a + b)(a - b) = a^2 - b^2$

Gennemregnet bevis for 1. kvadratsetning: $(a + b)^2 = (a + b)(a + b) = a \cdot a + a \cdot b + b \cdot a + b \cdot b = a^2 + 2ab + b^2$

Reducer følgende udtryk fuldstændigt: $U = (2x + 3)^2 - 4x(x - 1)$

Trin 1: Udvid første kvadratsetning $(2x + 3)^2 = (2x)^2 + 3^2 + 2 \cdot 2x \cdot 3 = 4x^2 + 9 + 12x$

Trin 2: Gang ind i den anden parentes $-4x(x - 1) = -4x^2 + 4x$

Trin 3: Saml leddene $U = (4x^2 + 9 + 12x) - 4x^2 + 4x = (4x^2 - 4x^2) + (12x + 4x) + 9 = 16x + 9$